Продали квартиру. Посоветуйте, как быть

Покупатель не прав, что не проверил ваши долги. Но это не так важно- долги останутся за вами.

Прав, но только отчасти: долги за бывшим владельцем (и за ним и останутся в случае продажи квартиры), а не за квартирой. Исключение - долги за кап. ремонт.

"Сказал, сам разберётся с ними." - кто-то против?
"Теперь звонит и истерике" - настойка боярышника хорошо помогает (в простонародье - "брынцаловка"). Можете ему посоветовать принимать.

С квартирантами у вас был договор???

Вы нового покупателя уведомляли о том что есть договор найма??? Тогда договор найма не прекращается -пусть живут до окончания его срока

Долги в любом случае останутся за вами

В чем то прав - теперь это его квартира и он может использовать как считает нужным. Ну, а насчет - "имеет ли право?" - тут уже сложнее. Есть ли договор у квартирантов, какие там условия и т. п.? Долги опять же в основном все начисляются на потребителя, и по большому счету - не его дело есть они у вас или нет. Но у нас это частенько осложняет жизнь новым пользователем - так как их искать не надо, долги пытаются стрясти с них. Но это он не проверил - вашей вины нет, таких требований он не предъявлял. А вот кап. ремонт висит именно на квартире - если есть долг, то трясти будут с владельца.