Нужно ли платить сантехнику?

За подкрутку конечно загнул товарищ.

Ну вы же сами вмешались в работу сантех/оборудования.... А почему тот кто устанавливал, не подошел и не посмотрел/подкрутил?

Позвони в диспетчерскую и спроси, правомерно он взял или нет

Да должны. Если батарея относится к вашему личному имуществу то вы сами отвечаете за него, за ремонт и т. д. с вас за это деньги не берут по квитанции. Если же батарея относится к общему имуществу (например если нет запорных устройств перед ней) то вы вообще не имели право самостоятельно заниматься ремонтом

Сантехник (управляющая компания) отвечает за состояние стояков до перекрывающих кранов. А то что разводится по квартире это ответственность владельца квартиры.
У вас не проводилось капитальных работ - ваши оплаты по этой статье не причём.
И да, вы должны ему за работу, каждый труд в почёте и должен справедливо оплачен.
Некоторые если работа меньше 5000руб даже не соглашаются приходить. Я бы за 500р. даже не пошёл никуда... Да и думаю вы тоже. Так что нормальная это цена.

обязан. ты же не смог

Все вопросы касаемые оплаты необходимо обговаривать заранее, до выполнения работы. Тогда и не будет проблем. Но, думаю, что сантехник из вашего ЖЭУ взял с вас деньги правомерно (хоть и без оформления должных документов и квитанций), т. к. ЖЭУ отвечает лишь за стояки и вентили, все что после вентилей вы должны самостоятельно обслуживать за свои деньги. Но если вентилей на отводах от стояка нет, то тут можно было и пободаться, думаю, что и так бы подкрутил. Ну по поводу суммы, у нас такая же проблема была, но мы вызвали сантехника из сторонней коммерческой фирмы в Самаре, вот тут https://домовой63.рф/service/ustranenie-techi-i-protechek и нам устранили течь батареи за 1 000 рублей, так же просто подтянули гайки. Но у них и на сайте указана цена "от 1000 рублей" за устранение течи батареи. Так что по минималке сделали. Так что ваши 500 рублей, может быть, еще и не так много. Но опять же смотря в каком городе, мы в Самаре живем.