Какие существуют стандарты на разработку программного обеспечения?

Насколько я знаю, ГОСТов на оформление программного кода нет.
Есть только общепринятые принципы.
Например,
http://www.ttgdt.edu.ru/docs/08/recomend/text_pro.html

Насчет ТЗ: пока используется ГОСТ 19.201-78.

Ты не совсем понял. Есть правило выполнения работ: выполнение требуемых работ должно быть обеспечено всеми необходимыми материально-техническими и информационными ресурсами. В твоем случае тебе тонко намекают что тебе пора менять работу. Если бы от тебя реально что либо требовали то тебе бы сказали: разрабатывай по стандарту ...Если не хочешь терять работу то потребуй указать по какому стандарту надо, может ты уже по правильному стандарту разрабатываешь, они ведь не знают.

Вообще-то стандарт может быть только на оформление документации. Может от тебя это требуют. Разработка ПО выполняется по очень простым правилам:
1. Разработка технического задания
2. Разработка математической модели согласно полученного ТЗ
3. Разработка методики тестирования ПО
4. Выбор языка программирования наиболее подходящего для реализации полученной мат модели.
4. Написание программного кода на выбранном ЯП согласно полученной матмодели
5. Тестирование и отладка ПО по установленной методике

Разработка и оформление ТЗ это не забота программиста, это проблема заказчика

Ну раз не знают, то забей. Посмари на исходники, которые они же и писали. Оформи как следует (ну там обрати внимание на заголовок, на комментарии в целом) и все.
Главный стандарт - ни какого быдлокодства.