Почему программисты начинают счет с нуля, как если бы это была единица?

Потому что отсчет с нуля идет. Давай посчитаем!

0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
...

Всего лишь языковые соглашения. В фортране можно с чего угодно начинать, а в пайтоне arr[-1] ссылается на последний элемент

А то, что полночь в 00:00, а не в 01:01, вас не смущает?)

потому, что так намного удобнее и правильнее...

Смотря что считать. Например, предметы программисты считают как все - с единицы.
С какого числа считать индексы массива - не так уж важно, иногда удобно это делать вовсе не с 1. В некоторых языках можно задавать номер начального элемента.

В С++ так сложилось традиционно. Вероятно, это связано с тем, что язык С изначально был тесно связан с внутренним представлением данных в памяти компьютера. Имя массива по-сути представляло собой адрес начала блока памяти, выделенного под массив. А индекс, соответственно, смещение относительно этого адреса. Таким образом, первый элемент имеет смещение 0, т. е. его адрес совпадает с адресом массива.

Так что все логично, есть причины, есть определенное удобство в таком способе нумерации. Хотя, конечно, это несколько непривычно. Но не забывайте, это ведь язык компьютеров - он в любом случае будет содержать некоторые не совсем очевидные вещи )

п/ч работают только с цифрами, чисел не знают, а у нас десятиистеричная система

А ещё у этих погромистов в одном килограмме ровно 1024 грамм.

многие вещи становятся проще, вроде циклических сдвигов

Потому что индекс в массиве - это смещение от начала массива. А так как первый элемент сам и является началом, то его смещение равно 0.

Проще адрес элемента массива в памяти вычислить. По самому адресу находится первый элемент, а индекс это смещение. Для первого элемента это и есть 0, для второго 1 и т. д. Пошло еще со времен когда на ассемблере проги писали.