Как решить? Приближённое значение функции!

Пусть есть функция f(x).

Мы знаем значение f в точке x0, которое равно f(x0), и хотим найти значение функции в точке x0 + Δx, где Δx небольшое отклонение аргумента функции.

Из определение дифференциала следует, что приращение функции f(x0 + Δx) - f(x0) приблизительно равно ее дифференциалу в точке x0.

d f(x) = f'(x) dx.

Следовательно f(x0 + Δx) - f(x0) ≈ f'(x0) * Δx.
Откуда f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f'(x0) * Δx.

Решение для f(x) = sin(x):
f'(x) = cos(x)

а) sin(1.07) = sin(π/3 + (1.07 - π/3)) ≈ sin(π/3) + cos(π/3)*(1.07 - π/3) = sqrt(3)/2 + 0.535 - π/6
б) sin(49⁰) = sin(π/4 + π/45) ≈ sin(π/4) + cos(π/4) * π/45 = sqrt(2)/2 * (1 + π/45).

С какой точностью вычислять корни и число π смотрите сами.

Если хотим получить более точное значение, надо разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в точке x0:

f(x0 + Δx) = f(x0) + f'(x0) * Δx + (f''(x0) * (Δx)^2) / 2 + (f'''(x0) * (Δx)^3) / (2*3) + .+((d^n(f)/dx^n)(x0) * (Δx)^n) / (n!) + .

И искать его частичную сумму.
Очень удобно для синуса/косинуса, так как d sin(x) / dx = cos(x) и d cos(x) / dx = -sin(x).