НАйти наибольшее значение функции

ОДЗ
-1<=x<=1(из подкоренного выражения)
(√1-x²)²=1-x²
f(x)=x+1
_____ - 0,25x + x²+ (√1-x²)² ={(x+1)/(x+2)}-0,25x+1
x+2

f'(x) = 1/ (x+2) - (x+1) / (x+2)^2 - 0.25 = 0
{(x+2)^2}-4=0
x*(x+4)=0
x1=0
x2=-4(не подходит, т. к. ОДЗ-1<=x<=1
f(0) = 1,5
f(-1) = 1,25
f(1) = 1,42
Значит максимум функции f(0) = 1,5.

т. к. тут х квадрат в сумме, то наибольшее значение будет бескнечность, т. е оно отсутствует.
Если конечно х+2 не общий знаменатель.

А в последней скобке под корнем все выражение?

суть в том, что корень в квадрате раскрывается как модуль подкоренного выражения, то есть будем иметь два случая решения уравнения в зависимости от знака скобки 1-x^2
1) 1-x^2 < 0
x^2 > 1
x in (-inf, -1) OR (1, inf)
но на этом промежутке функция имеет разрыв в точке -2 и максимальное значение - бесконечность, то есть такой вариант нас не устраивает и решений нет

2) 1-x^2 >= 0
x^2 <= 1
x in [-1, 1]
возьмем производную от получившейся функции, при этом скобка 1-x^2 раскроется с минусом, т. е. получим

f(x)=x+1
_____ - 0,25x + 2x² -1
x+2

f'(x) = 1/ (x+2) - (x+1) / (x+2)^2 - 0.25 = 0
x = 0

тогда посчитаем f(0) = 1.5

ответ: максимальное значение функции f(0) = 1.5