найти наименьшее значение функции y=(x^2-9x+9)e^x-7. y=(x^2-9x+9)e^x-7

Находите производную, далее методом интервалов находите её знак и, следовательно, поведение исходной функции; точки перемены знака производной с «−» на «+» — докальные минимумы. Если их несколько, то нужно выбрать тот из них, в котором значение функции наименьшее. Также над рассмотреть поведение функции на границах области определения (при x→±∞).

Итак,

y(x) = (x²−9x+9)eˣ − 7
y'(x) = (2x−9+x²−9x+9)eˣ = (x²−7x)eˣ

Сомножитель eˣ всегда положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения x²−7x = x(x−7).
Методом интервалов устанавливаем, что
1) при x<0: y'(x)>0; функция возрастает; при этом
lim y(x) = −7
x→−∞
2) при 0<x<7: y'(x)<0; функция убывает
3) при x>7: y'(x)>0; функция возрастает.

В т. x=7 производная меняет знак с «−» на «+» ⇒ имеем локальный минимум.
y(7) = (7²−9·7+9)e⁷ − 7 = −5e⁷ − 7 < −7 = y(−∞) ⇒

ОТВЕТ: наименьшее значение y = −5e⁷−7 достигается при x=7.

P. S. Вот общий вид графика функции:

Но на нём плохо видно поведение функции при отрицательных значениях аргумента; вот увеличенная соответствующая часть графика:

Находите производную, далее методом интервалов находите её знак и, следовательно, поведение исходной функции; точки перемены знака производной с «−» на «+» — докальные минимумы. Если их несколько, то нужно выбрать тот из них, в котором значение функции наименьшее. Также над рассмотреть поведение функции на границах области определения (при x→±∞).

Итак,

y(x) = (x²−9x+9)eˣ − 7
y'(x) = (2x−9+x²−9x+9)eˣ = (x²−7x)eˣ

Сомножитель eˣ всегда положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения x²−7x = x(x−7).
Методом интервалов устанавливаем, что
1) при x<0: y'(x)>0; функция возрастает; при этом
lim y(x) = −7
x→−∞
2) при 0<x<7: y'(x)<0; функция убывает
3) при x>7: y'(x)>0; функция возрастает.

В т. x=7 производная меняет знак с «−» на «+» ⇒ имеем локальный минимум.
y(7) = (7²−9·7+9)e⁷ − 7 = −5e⁷ − 7 < −7 = y(−∞) ⇒

ОТВЕТ: наименьшее значение y = −5e⁷−7 достигается при x=7.

P. S. Вот общий вид графика функции:

Но на нём плохо видно поведение функции при отрицательных значениях аргумента; вот увеличенная соответствующая часть графика: