Матанализ, площадь поверхности

Кривая (1):
x* = 2/3 * cos^3(t),
y* = 2/3 * sin^3(t),
t \in [0, Pi/2]



Рассмотрим поверхность, образованную вращением данной кривой вокруг оси Oy*, в цилиндрической системе координат.

Кривая (1) является осевым сечением поверхности. Oy* - ось симметрии. Координата кривой y* играет роль уровня высоты z, а координата x* - роль радиуса поперечного сечения. То есть:
r = x* = f(t) = 2/3 * cos^3(t),
z = y* = g(t) = 2/3 * sin^3(t).

Можно параметризовать поверхность следующим образом:
x = r*cos(phi) = f(t)*cos(phi),
y = r*sin(phi) = f(t)*sin(phi),
z = y* = g(t),
где t \in [0, Pi/2] и phi \in [0, 2*Pi].

Площадью данной поверхности S является двойной интеграл по области D(t, phi) = {(t, phi) | t \in [0, Pi/2] и phi \in [0, 2*Pi]} от выражения sqrt(E*G-F^2), где E, F, G - коэффициенты первой квадратичной формы (http://ru.wikipedia.org/wiki/Первая_квадратичная_форма).

Можно показать, что для поверхности вращения эти коэффициенты вычисляются по формулам:

E = f'^2 + g'^2,
F = 0,
G = f^2.

В нашем случае:
f(t) = 2/3 * cos^3(t),
g(t) = 2/3 * sin^3(t).

f'(t) = -2*cos^2(t)*sin(t),
g'(t) = 2*sin^2(t)*cos(t).

E = 4*cos^2(t)*sin^2(t),
F = 0,
G = 4/9*cos^6(t).

Теперь находим площадь:
S = \iint_{D(t, phi)} sqrt(4*cos^2(t)*sin^2(t)*4/9*cos^6(t)) d(t) d(phi) =
\int_{0}^{2*pi} d(phi) \int_{0}^{pi/2} (4/3*cos^4(t)*sin(t)) d(t) (=)

[вычисляем двойной интеграл: интеграл по phi в пределах от 0 до 2*pi от интеграла по t в пределах от 0 до pi/2 от функции 4/3*cos^4(t)*sin(t)]
[так как внутренний интеграл не зависит от phi, то его можно вынести, как константу и взять интеграл по phi в пределах от 0 до 2*pi: \int_{0}^{2*pi} d(phi) = 2*pi]
(=) 2*pi * \int_{0}^{pi/2} (4/3*cos^4(t)*sin(t)) d(t) = [заносим sin(t) под дифференциал] -2*pi * \int_{0}^{pi/2} (4/3*cos^4(t)) d(cos(t)) = -8/3*pi * 1/5 * cos^5(t) |_{0}^{pi/2} (=)
[площадь равна (-8/3*pi * 1/5 * cos^5(t)) в подстановке t от 0 до pi/2]
(=) 8/15*pi.

Ответ: S = 8/15*pi.