В натуральном числе переставили цифры и получили число,в три раза большее исходного.

Пусть x - исходное число, a y-в 3 раза большее x, полученное после перестановки цифр числа x.
y=3x, т. е. кратно 3.
Поскольку сумма цифр числа x равна сумме цифр числа y, то x также кратно 3 и x=3k, где k-натуральное число.
Тогда y=3x=3*3k=9k и кратно 9. и снова, поскольку сумма цифр числа x равна сумме цифр числа y, то x также кратно 9 и x=9n, где n-натуральное число.
Тогда y=3x=3*9n=27k и кратно 27.
Что и требовалось доказать.

В решении выше новое число почему-то меньше исходного

Указание. Вспомните признаки делимости на 3 и на 9.

Решение. Пусть A — исходное число, B — число, в три раза меньшее A, полученное из A путём перестановки цифр. Поскольку A = 3B, то A делится на 3. Это значит, что и B делится на 3, так как сумма цифр числа B равна сумме цифр числа A. Таким образом,

B = 3m,

где m — целое, и

A = 3B = 9m.

следовательно, A делится на 9. Значит, B тоже делится на 9 (делимость на 9 определяется, как и делимость на 3, суммой цифр числа) , а поэтому

A = 3B = 3 · 9 n = 27n

делится на 27.

шота типа цитаты:
"В решении выше новое число почему-то меньше исходного"
Может быть числа отрицательные?