Помогите решить задачу на оптимизацию (производная):

Здесь надо выразить h через r.
S = Пr * кор (r^2 + h^2) = 1
кор (r^2 + h^2) = 1/Пr
r^2 + h^2 = (1/Пr)^2
h^2 = (1/Пr)^2 - r^2 = 1/(Пr)^2 - r^2 = (1 - П^2*r^2* r^2) / (Пr)^2 = (1 - П^2*r^4) / (П^2*r^2)
h = кор [ (1 - П^2*r^4) / (П^2*r^2) ] = кор (1 - П^2*r^4) / кор (П^2*r^2) = кор (1 - П^2*r^4) / (П*r)
Теперь ищем объем:
V = 1/3*П*r^2*h = 1/3*П*r^2*кор (1 - П^2*r^4) / (П*r) = 1/3*r*кор (1 - П^2*r^4) - должен быть максимальным.
Производная от объема должна быть равна 0.
V ' = 1/3*кор (1-П^2*r^4) + 1/3*r / 2кор (1-П^2*r^4) * (-4П^2*r^3) = 1/3*кор (1-П^2*r^4) - 4П^2*r^4 / (3*2кор (1-П^2*r^4)) =
= кор (1-П^2*r^4)/3 - 2П^2*r^4/(3кор (1-П^2*r^4)) = (1-П^2*r^4-2П^2*r^4) / (3кор (1-П^2*r^4)) = (1-3П^2*r^4) / (3кор (1-П^2*r^4)) = 0
1 - 3П^2*r^4 = 0
r^4 = 1/(3П^2)
r = 1 / [ кор4ст. (3)*кор. (П) ]
h = кор (1 - П^2*r^4) / (П*r) = кор (1 - П^2/(3П^2)) / (П/[ кор4ст. (3)*кор. (П) ]) = кор (1 - 1/3)*кор4ст. (3)*кор. (П) / (П) =
= кор (2/3) * кор4ст. (3) / кор. (П)
Отношение r/h = 1 / [ кор4ст. (3)*кор. (П) ] : [кор (2/3) * кор4ст. (3) / кор. (П) ] = кор. (П) / [кор. (П) *кор (2/3)*кор4ст. (3)*кор4ст. (3)] =
= 1 / (кор (2/3)*кор (3)) = кор (3) / (кор (2)*кор (3)) = 1/кор (2)

У тебя в ответе написано кор (2), а у меня получилось 1/кор (2). Может, ты перепутала, и надо было найти отношение h/r?
Или я где-то ошибся?

уфф ну и задачко
короче так > подставляем один:
1 =п`2*r`2(r`2+h`2)

преобразуем формулу находим h`2 = 1/п`2r`2 - r`2 (, далее выражение 1)

подставляем в обьем

V = п/3 * корень из выражения 1* r2 - получим формулу обьема при площади равной 1.
потом эту формулу дифиринцируем и находим максимум функции V(r)