Объясните как определить порядок малости f(x)=arcsin(x^2)-x при x->0

Обычно под порядком малости подразумевают степень Х, разделив на которую Вашу функцию в пределе, при Х стремящемся к нулю, Вы получите конкретное число ( не ноль и не бесконечность) . Поскольку из первого замечательного предела следует, что arcsinX^2 эквивалентен Х^2?, то порядок малости будет равен1,потому что lim(X->0)(arcsinX^2-X)/X=
Lim(X->0)(X^2-X)/X=lim(X->0)(X-1)=-1.

Это можно проверить при помощи правила Лопиталя. Переписываем в виде ln(x)/ (1/x), чтобы получилась неопределенность вида бесконечность делить на бесконечность, и дифференцируем. Получилось (1/x)/ (-1/x^2)=x_>0.
На самом деле, логарифм стремится к бесконечности всегда медленнее чем 1/x^r, где r>0.

чтобы определить, кто из них кого гасит нужно представить не в виде произведения, а в виде отношения
ln(x) / (1/x)
при x стремящемся к нулю, ln(x) стремится к -бесконечности медленнее, чем стремится к бесконечности любая функция вида 1/(x^альфа) , альфа>0
если использовать замену y=1/x
ln(x) 1/(x^альфа)
ln(y) y^альфа
ln(y^бета) y, бета=1/альфа
y^бета e^y
то можно свести к известному свойству, что экспонента стремится к бесконечности быстрее чем любая степенная функция.

логарифм натуральный, а не простой. x стремиться к нулю гораздо быстрее. Вообще ln(x) к нулю не стремиться, а стремиться к минус бесконечности намного медленнее, чем x к нулю. Значит произведение стремится к нулю.

зачем это тебе?

Это можно проверить при помощи правила Лопиталя. Переписываем в виде ln(x)/ (1/x), чтобы получилась неопределенность вида бесконечность делить на бесконечность, и дифференцируем. Получилось (1/x)/ (-1/x^2)=x_>0.
На самом деле, логарифм стремится к бесконечности всегда медленнее чем 1/x^r, где r>0.

чтобы определить, кто из них кого гасит нужно представить не в виде произведения, а в виде отношения
ln(x) / (1/x)
при x стремящемся к нулю, ln(x) стремится к -бесконечности медленнее, чем стремится к бесконечности любая функция вида 1/(x^альфа) , альфа>0
если использовать замену y=1/x
ln(x) 1/(x^альфа)
ln(y) y^альфа
ln(y^бета) y, бета=1/альфа
y^бета e^y
то можно свести к известному свойству, что экспонента стремится к бесконечности быстрее чем любая степенная функция.

логарифм натуральный, а не простой. x стремиться к нулю гораздо быстрее. Вообще ln(x) к нулю не стремиться, а стремиться к минус бесконечности намного медленнее, чем x к нулю. Значит произведение стремится к нулю.