Помогите, пожалуйста, решить задачу по геометрии! Пусть Н-ортоцентр остроугольного треугольника АВС. Найти макс значение ве

треугольник равносторонний

Пусть M — основание высоты, опущенной из A на BC. Из прямоугольного треугольника ACM получаем CM = AC cos ⁄ C, а поскольку ⁄ HCM = 90°− ⁄ B, то из прямоугольного треугольника CHM находим CH = CM/cos ⁄ HCM = AC cos ⁄ C/sin ⁄ B = AB cos ⁄ C/sin ⁄ C (в последнем переходе применена теорема синусов) . Итак, CH/AB = ctg ⁄ C. Аналогично можно показать, что BH/CA = ctg ⁄ B, AH/BC = ctg ⁄ A.

Требуется найти максимальное значение выражения ctg α ctg β ctg γ, где α = ⁄ A, β = ⁄ B, γ = ⁄ C.

Докажем, что в любом треугольнике ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α = 1 или

cos α cos βcos β cos γcos γ cos α––———— + ––———— + ––———— = 1. sin α sin β sin β sin γ sin γ sin α
Домножив обе части этого равенства на sin α sin β sin γ, получим, что требуется убедиться в справедливости равенства

cos α cos β sin γ + sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ – sin α sin β sin γ = 0

или

cos α (cos β sin γ + sin β cos γ) + sin α (cos β cos γ – sin β sin γ) = 0

или

cos α sin (β + γ) + sin α cos(β + γ) = 0

или (поскольку α + β + γ = 180°)

cos α sin α + sin α · (–cos α) = 0,

которое, очевидно, верно.

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом

1ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α_______________– = ———————————————–– ≥ ³√ ctg² α ctg² β ctg² γ,3 3
следовательно,

1ctg α ctg β ctg γ ≤ ——.3√3
Максимальное значение выражения из условия задачи найдено. Оно достигается при

ctg α ctg β = ctg β ctg γ = ctg γ ctg α,

то есть при ctg α = ctg β = ctg γ, что равносильно α = β = γ = 60°, то есть для равностороннего треугольника.