Найдите острые углы прямоугольного треугольного, если проекции катетов на гипотенузу равны 2 см и 6 см .

Рисуем треугольник АВС. Угол А - прямой. Проводим высоту АК на сторону СВ.
ВК = 6 см
КС = 2 см
Составляем уравнения теоремы Пифагора
АК^2 = AC^2 - KC^2
или
АК^2 = AC^2 - 4 [уравнение 1]
AK^2 = AB^2 - BK^2
или
AK^2 = AB^2 - 36 [уравнение 2]
AB^2 + AC^2 = BC^2
или
AB^2 + AC^2 = 64 [уравнение 3]
Складываем уравнени [1] и [2]
2 * АК^2 = AC^2 + AB^2 - 40
Вместо суммы квадратов катетов подставляем значение квадрвта гипотенузы из уравнения 3
2 * АК^2 = 64 - 40
АК^2 = 12
Находим катет АС
АС^2 = AK^2 + KC^2 = 12 + 4 = 16
AC = 4 см
sin В = АС/СВ = 4/8 = 1/2
В = 30 град
С = 60 град

гипотенуза=2+6=8. пусть h- высота проведенная к гипотенузе, x и y- катеты. найти уголА и уголВ.
за т. пифагора x^2+y^2=8^2 x^2+y^2=64.
рассмотрим образовавшиеся треугольники. за т. пифагора h^2=x^2-6^2=x^2-36
h^2=y^2-2^2=y^2-4
получим уравнение x^2-36=y^2-4
x^2-36-y^2+4=0
x^2-y^2-32=0 решим систему уравнений: 1. x^2+y^2=64 и 2. x^2-y^2-32=0
из 1 уравнения x^2=64-y^2 подставим в 2 уравнение, получим 64-y^2-y^2-32=0
-2y^2=-32
y^2=16
y=±4
y=-4 не удовлетворяет условию задачи y=4
за т. синусов y/sinВ=гипотенуза/sin90
4/sinB=8/sin90
4/sinB=8/sin90=8/1 отсюда sinB=4/8=1/2 угол В=30 градусов
уголА=180-90-30=60 градусов