Найдите область определения функции .

Если в дроби стоит только х в квадрате, а х прибавляется потом к дроби, то malru-sv правильно написал.
А если в дроби стоит (х в кв. + х) , тогда будет система:
{ x + 3 >= 0
{ x^2 + x > 0

{ x >= -3
{ x(x + 1) > 0
Распадается на 2 системы:
1)
{ x >= -3
{ x > 0
{ x + 1 > 0

{ x >= -3
{ x > 0
{ x > -1
x > 0, x принадлежит (0, + бесконечность)

2)
{ x >= -3
{ x < 0
{ x + 1 < 0

{ x >= -3
{ x < 0
{ x < -1
-3 <= x < -1, х принадлежит [-3, -1)

Ответ: х принадлежит [-3, -1) U (0, + бесконечность)

Почему x>0 у malru-sv и x^2 + x > 0 у Михаила Грудцына? Во втором слагаемом нет квадратного корня! Знаменатель дроби не равен нулю, он может быть отрицательным!
Система:
{ x + 3 >= 0,
{ x^2 + x не равно 0;

{x>=-3,
{x не равен 0 и х не равен-1;

х (- [-3; -1) U (-1; 0) U (0; +бесконечность)

Автору вопроса: во втором слагаемом есть квадратный корень?

Х > или равен 3.

Так как арифметический квадратный корень определен на множестве неотрицательных чисел, то подкоренные выражения (х+3) и х не отрицательны (больше или равны 0), кроме того квадратный корень из х стоит в знаменателе, поэтому не равен нулю. Решаем систему из двух неравенств: х+3 больше или равно нулю и х (строго) больше нуля. Областью определения является пересечение двух интервалов. Получаем открытый интервал от нуля до плюс бесконечности.

Херня какя - то! Не забивай голову, спиши!!!