Найдите область значений функции: y=cos^2x+cosx+2 Напишите, пожалуйста, подробно

После замены cosx=t задача сводится к нахождению наибольшего / наименьшего значения функции y(t)=t^2+t+2 на отрезке [-1;1]. По шаблону:
y'(t)=2t+1; t=-1/2 - критическая точка, принадлежит отрезку [-1;1].
Находим значения ф-ции y(t) в критических точках и на концах отрезка:
y(-1/2)=1/4-1/2+2=1,75;
y(-1)=2;
y(1)=4.
Выбираем наименьшее и наибольшее: [1,75; 4].
Ответ: Е (у) =[1,75; 4].

Заметим, что у нас повторяется постоянно cos x - непорядок. Пусть cos x = t, |t| <=1 - вполне логично. Тогда выражение перепишется в виде:
t^2 + t + 2
Было бы здорово, если бы мы нашли область значений этого квадратного трёхчлена. Заметим, что ветви данной параболы (графика этого трёхчлена) направлены вверх, значит наибольшего значения функция не имеет (верхнюю границу области значений), а вот как раз поиском нижней границы области значений мы сейчас и займёмся.
Выделим полный квадрат из данного трёхчлена.
t^2 + t + 2 = (t^2 + 2 * 1/2t + 1/4) - 1/4 + 2 = (t + 1/2)^2 + 1.75
Теперь вспоминаем о том, что t = cos x, получаем
(cos x + 1/2)^2 + 1.75
нам осталось оценить, в каких же пределах будут находиться значения этого выражения. Вспоминаем, что квадрат всегда неотрицателен, то есть
(cos x + 1/2)^2 >= 0
(cos x + 1/2)^2 + 1.75 >= 1.75
Таким образом, область значений выражения можно записать так:
E(f) = [1.75;+беск) Задача решена.