Даны угол ABC и точка M внутри него. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку M.

Касательная - линия? линия. Она касается. Под предложением "нельзя провести линию, касающаюся окружности в точки" скрыт тайный смысл, недоступный мне. Ну да, ладно что обо мне-то. Поговорим о задаче. Вступление окончено.

Решение.
Задача имеет решение, причем два. Одинаковых до подобия. Первое, что мы делаем. Берем и вписываем любую окружность в угол, это делается несложно, находим биссектрису и опускаем из любой ее точки перпендикуляры на стороны угла. Пусть она касается в точках T и K.
*Немного обозначения. Угол ABC, BA, BC лучи, B вершина. M точка из задачи*
Дальше мы проводим луч BM, пересекающий окружность в точках Q и S. Теперь гомотетируем нашу окружность так, что Q перешла в M - это первое решение и второе решения - гомотетия окружность относительно вершины B, так чтобы S перешла в M. Гомотетия, грубо говоря, растяжение плоскости. Достаточно построить подобные трегольники в отношениях QB:QM и SB:SM. решение просто, но написано фигово.

Гоарчик, их бесконечное множество: окружность можно построить по любым трем точкам (не лежащим на одной прямой. Одна точка - М, а две другие - любые равноудаленные от вершины угла

Нарисуйте угол, впишите в него окружность. Будут две точки касания по сторонам угла. Через дру гие точки М Окружность пересечёт линии угла.
А если совсем уж умно, нельзя провести линию касающюся оккружности в точке. Но это уже из высшей математики.