окружность с центром О касается сторон АВ,ВС,АС треугольника АВС в точках К,М,N, КМ:МN:МК как 6:5:7. Найти углы треуг.?

Треугольники KBM, MCN и NAK суть равнобедренные. Поэтому

∠BKM = ∠BMK = 90° − ½∠B,
∠CMN = ∠CNM = 90° − ½∠C,
∠ANK = ∠AKN = 90° − ½∠A.

Углы треугольника KMN равны ∠K = ½(∠A + ∠B), ∠M = ½(∠B + ∠C), ∠N = ½(∠C + ∠A).

Пусть KM = 6x, MN = 5x, NK = 7x. По теореме косинусов

MN² = KM² + KN² − 2KM·KN cos K ⇒ cos K = (36 + 49 − 25)/(2·6·7) = 5/7 ⇒
⇒ ∠K = arccos (5/7);
NK² = KM² + NM² − 2KM·NM cos M ⇒ cos M = (36 + 25 − 49)/(2·6·5) = 1/5 ⇒
⇒ ∠M = arccos (1/5);
KM² = KN² + MN² − 2KN·MN cos N ⇒ cos N = (49 + 25 − 36)/(2·5·7) = 19/35 ⇒
⇒ ∠N = arccos (19/35).

Итак,

{ ½(∠A + ∠B) = arccos (5/7),
{ ½(∠B + ∠C) = arccos (1/5),
{ ½(∠C + ∠A) = arccos (19/35).

∠A = arccos (5/7) + arccos (19/35) − arccos (1/5) ≈ 23,07391804°,
∠B = arccos (5/7) + arccos (1/5) − arccos (19/35) ≈ 65,75669912°,
∠C = arccos (1/5) + arccos (19/35) − arccos (5/7) ≈ 91,16938280°.

Юля ты меня пугаешь...