На плоскости нарисован отрезок АВ длинны 4. Сколько существует точек С таких, что треугольник АВС прямоугольный ?

8 точек

Бесконечное количество (потому что не сказано, что точка С должна лежать в этой же плоскости) .

Если условие принадлежности плоскости есть, то 8 точек: 4 точки в одной полуплоскости от АВ и 4 в другой (зеркально) . Во 4 случаях АВ - бОльший катет (в двух случаях А = 90, в двух В = 90). В 4 случаях АВ - гипотенуза (в двух случаях АС - бОльший катет, в двух - ВС).

если рассматривать не в одной плоскости, то бесконечно много, потому что один прямоугольный треугольник можно будет крутить относительно отрезка АВ бесконечно много раз, то есть каждый раз вершина С будет в разных плоскостях.
если рассматривать пример в одной плоскости, то тоже бесконечно много, потому что можно из точки А отрезка АВ провести перпендикуляр к этому отрезку (любой длины) в точку С, а из отрезка АС (перпендикулярного АВ) можно опустить бесконечно много прямых в точку В, каждый раз получая новый прямоугольный треугольник.

Бесконечное количество (не зависимо от того в каких плоскостях лежать точки) , при условии что угол С = 90 градусов

четыре

Если отрезок АВ разделить пополам и радиусом ОА описать окружность, а затем соединить любую точку окружности сконцами отрезка АВ, то получим столько треугольников, сколько захотим. Все полученные треугольники будут прямоугольными, т. к. отрезок АВ будет диаметром, а вписанный угол АСВ равен половине дуги, на которую он опирается, аполуокружность имеет 180 градусов. Значит все треугольники будут прямоугольными и их будет бесчисленное множество.

В 3-ке АВС: АВ=6, АС=ВС=х, по т. Пифагора х2 + х2 =62 ; 2х2=36; х=√18

Проведем СК _|_ АВ. 0,5*АВ*СК=0,5*АС*ВС (Приравниваем площади 3-ка АВС)

6*СК=х2 6 СК= 18 СК=3

3-к МСК - прямоугольный, гипотенуза МК=5, катет СК=3, тогда по т. Пифагора катет СМ=4.

Ответ: 4.