прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему.

Если нарисовать отрезок и прямую пересекающую отрезок посередине под прямым углом, а потом на этой прямой поставить точку и соединить эту точку с точками А и Б - получим треугольники с прямым углом. Поскольку у них одна сторона общая, другие стороны равные (половина отрезка АБ), а между этими сторонами прямой угол, то можно считать их катетами.
Соответственно линия между точкой на прямой и точкой А или Б - гипотенуза. Из формулы
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов получаем, что равенство катетов нам дает равенство гипотенуз. То есть любая точка на прямой равноудалена от А и Б

Б доказываем так - рисуем окружности с центром в точках А и Б радиусом больше половины отрезка АБ. Поскольку радиусы одинаковы, то в местах пересечений окружностей будут точки, равноудаленные от А и Б на длину радиуса окружностей. Проводим прямую между точками пересечения окружностей и получаем линию точек, равноудаленных от А и Б. Эта линия проходит через середину отрезка АБ так как середина это тоже точка равноудаленная от А и Б.
А дальше так - раз равноудалено от А и Б - считаем что это одна сторона треугольника, половина отрезка АБ - вторая сторона. Третья сторона общая для обоих треугольников. Зная стороны получаем углы треугольника и выясняем что наша линия пересекает отрезок под прямым углом. А значит по условию задачи совпадает с линией а

Потому что в равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является и медианой. Если тебе что-то говорят эти слова.