прямая проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника разделяет его на два прямоугольника.

Конечно. Причем либо ОБА будут подобны исходному, либо оба не будут подобны. Кстати, это и используется в форматах бумаги. Когда вы лист формата, например, А2 делите пополам, то получаете два листа формата А3, которые оба подобны исходному А2, а когда лист А3 делите пополам, то получаете два листа формата А4, оба из которых опять-таки подобны исходному А3, и так далее.
Соотношение сторон исходного прямоугольника должно быть при этом 1:sqrt(2).
sqrt(2) - это корень квадратный из двух..
Например, лист формата А4 имеет длину сторон 297 и 210 мм. 297/210=1,414.. -корень квадратный из двух с точностью до четвертого знака)) А лист формата А3 имеет длину сторон 2*210=420 и 297 мм. 420/297=1,414. И так далее.
А лист бумаги формата А0 имеет размеры 4*297=1188 и 2*420=840 мм. 1188/840=1,414, а вот ПЛОЩАДЬ ЛИСТА А0 при этом равна 1,188*0,84=0,9979=1 кв. метр! Поэтому, например, лист бумаги формата А4 имеет площадь ровно 1/2^4=1/16 квадратного метра))
Почему так сделано? Да потому что МАСШТАБИРОВАТЬ изображение на листе удобно. Ничего менять не надо, ни растягивать, ни сжимать, и пустых мест на листах не будет (если их не было на ИСХОДНОМ изображении, конечно!). Если у тебя изображение на листе, например, А3, а ты его уменьшил ПО ПЛОЩАДИ в два раза, то на лист этого же формата точно лягут два таких изображения, каждое в формате А4, без малейших искажений))
Есть много интересного в геометрии, что используется в жизни, деточка...