Она решила начать учиться играть на пианино. Где тут сказуемое, а где дополнение?

Она решила начать учиться играть на пианино.

Я бы отнесла к сказуемому только решила начать учиться. Это так называемое осложнённое составное глагольное сказуемое – трёхчленное сказуемое. Инфинитив играть является дополнением (легко заменяется существительным игре – учиться игре) . Решила начать учиться чему? – играть. На пианино – ещё одно дополнение. Играть на чём? – на пианино.

А вот теоретические выкладки из учебника Н. С. Валгиной «Синтаксис современного русского языка» :

Как правило, в трехчленном глагольном сказуемом объединяются глагол модальный и глагол, указывающий на начало, продолжение или конец действия (один из них в форме инфинитива) , например: хотел (хочу) начать заниматься; решил начать лечиться, надеялся бросить курить; мог (могу) начать петь; хотел кинуться бежать, да не смог.

Отнесение к составным сказуемым объединения глаголов типа решил начать учиться, обещала прекратить разыскивать некоторыми лингвистами ставится под сомнение, предлагается расчленить подобное сочетание на два сказуемых: основное и второстепенное инфинитивного типа. Однако к таким трехчленным глагольным сочетаниям надо подходить дифференцированно, т. е. учитывать степень лексической знаменательности глаголов в составе этих сочетаний. Если основное значение сказуемого передается только последним инфинитивом, а первые два глагола обозначают лишь начало, конец, продолжение действия в сочетании со значениями волеизъявления, возможности, невозможности действия, желательности или склонности, то такие сказуемые не следует расчленять, так как в конечном счете они обозначают одно действие или состояние: хочу начать учиться, не мог броситься бежать; если же оба глагола-инфинитива в трехчленном сочетании обозначают самостоятельные, раздельно существующие действия, то сказуемым следует считать два первых глагола, а третий - второстепенным членом предложения (обстоятельством или дополнением) . Ср. : решил начать лечиться и решил поехать лечиться. В первом сочетании решил начать лексически неполноценно, так как сам процесс назван лишь в третьем глаголе; во втором - решил поехать лечиться – оба глагола поехать и лечиться полнозначны в лексическом отношении: глагол лечиться обозначает цель совершения действия, названного самостоятельным сочетанием глаголов решил поехать (ср. : решил поехать в Крым) .

сказуемое -начать учиться играть

дополнение - на пианино

Сказуемое здесь составное глагольное. То есть, сложное сказуемое. Он - подлежащее. На пианино эьл дополнение

Сказуемое - решила начать учиться играть
дополнение - на пианино

первое сказуемое - " решила начать", второе сказуемое - "учиться играть", дополнение - пианино

решила начать учиться играть - сказуемое
на пианино - дополнение