помогите решить остаток от деления на 12 числа ( 5 в степени 1692+ 17 в степени 1734 )

Можно попробовать так.
Сначала рассмотрим выражение 17^1734:
17^1734 = (12+5)^1734 = полином со членами кратными 12,
кроме последнего 5^1734.
Теперь заметим, что
5^1/12 = 5/12 - остаток 5
5^2/12 = 25/12 - осаток 1
5^3/12 = 125/12 -остаток 5
5^4/12 = 625/12 - остаток 1 и т. д.

Таким образом при возведении 5 в нечётную степень, получается число, которое при делении на 12 даёт остаток 5, при возведении в чётную, даёт остаток - 1. Таким образом,
5^1692+5^1734 при делении на 12 даст в остатке 1 от превого члена и 1 от второго

Ответ: остаток отделения равен 2

17
17^2 = 289
17^3 = 4913
17^4 = 83251
17^5 = 1419857
Таким образом, конечная цифра может принимать значения 7, 9, 3 и 1. Цикл равен 4 шагам.
1734/4 = 433,5. Т. е. конечная цифра - 9. К тому же, предпоследняя цифра чётная (это важно)
Далее, будем посчитаем конечную сумму цифр. Она равна либо 8, либо 1. ( 1+7=8; 2+8+9=19 =>1+9=10 =>1+0=1 и так далее - везде будет либо 1, либо 8). У нас сумма цифр равна 1 (докажите сами)
5
25
125
625
3125
15625
Далее, так же, как и в случае с 7-кой проводим анализ для 5-ки: Вот последовательность (5-7-8-4-2-1).
1692/6 = 282 => сумма цифр равна 1.
5^1692 заканцивается на 25.
Всё, теперь финишная прямая:
1+8 = 9 => число делится на 9 (то есть, на 3 тоже делится)
25 + (9 + 10k) (k - чётное число (посмотрите в самом начале) ) = (3+k)*10 + 4
Очевидно, что при чётных значениях k число (3+k)*10 + 4 не делится на 4 нацело - только на 2
В итоге, наше число (5^1692 + 17^1734) делится на 12 с остатком 1
Ответ: остаток равен 1 (т. е. при делении будет какое-то целое число + 0,5)

p.s. вышла сначала ошибка с k - он должен быть чётным. всё исправил - сейчас правильно