Как доказать, что хотя бы один понедельник в каждом году припадает на тринадцатое число?

Сузим задачку: один или два раза с марта по декабрь. Февраль только с толку собьет (то 28, то 29), мы его пропустим.
Теперь листай календари за 2 года, с марта по декабрь, цифрой день недели 1-7:
2011 : 7 3 5 1 3 6 2 4 7 2
2012 : 2 5 7 3 5 1 4 6 2 4

В комплектах встречается каждая цифра от 1 до 7 не менее 1 раза,
значит год за годом гарантирован обязательный набор 1234567, в данном примере прибавляй к каждому верхнему числу 2: 3+2= 5 1+2= 37+2 = 2, а 7+2 уж извини = 2 (воскр+2 дня = вторник)

В другие годы прибавляем другие числа, а результат тот же -

Как ни сдвигай ряд, хоть один понедельник встретится.

календарь полистай

открыть календарь и посмотреть: в 2011 году 13 число выпадает на понедельник в июне, в 2010 в сентябре и декабре, и т. д.

Действительно удобнее начинать с 13 марта и заканчивать 13 декабря. Так вот, остатки числа дней прошедших с 13 марта по каждое следующее 13 число при делении на 7 дают последовательность: 6, 1, 4, 6, 2, 5, 0, 3, 5, 1. Поэтому какой бы день недели не случился 13 марта в одно из следующих десяти 13 чисел обязательно случится любой другой день недели.