Помогите с тождеством.

Можно показать, что 1 + tg(x)tg(2x) = 1 / cos(2x)

Известно, что tg(2x) = 2tg(x) / (1 - tg(x)^2)

Тогда 1 + tg(x)tg(2x) = 1 + 2tg(x)^2 / (1 - tg(x)^2) =
= 1 + ( 2sin(x)^2 / cos(x)^2 ) / (1 - sin(x)^2 / cos(x)^2) = (помножим числитель и знаменатель на cos(x)^2)
= 1 + ( 2sin(x)^2 ) / (cos(x)^2 - sin(x)^2) =
= (cos(x)^2 - sin(x)^2 + 2sin(x)^2) / (cos(x)^2 - sin(x)^2) =
= 1 / (cos(x)^2 - sin(x)^2) = 1 / cos(2x)

Теперь помножим это на sin(2x) и получим tg(2x)

Это тангенс сокращается с тем, что в правой части

Осталось показать, что (1 + sin(x)) / (1 - sin(x)) = tg(x/2 + pi/4)^2

Известно, что tg(x / 2) = sin(x) / (1 + cos(x))

tg(x / 2 + pi / 4) = tg((x + pi / 2) / 2) =
= sin(x + pi / 2) / (1 + cos(x + pi / 2)) =
= cos(x) / (1 - sin(x))

Возводим это выражение в квадрат

cos(x)^2 / ((1 - sin(x))(1 - sin(x))) =
= (1 - sin(x)^2) / ((1 - sin(x))(1 - sin(x))) =
= (1 - sin(x))(1 + sin(x)) / ((1 - sin(x))(1 - sin(x))) =
= (1 + sin(x)) / (1 - sin(x)), что и требовалось показать