Подскажите пожалуйсто как провести полно исследование функции и построить график?

Скопируй и выучи.
1. Область определения и область значений функции.
2. Четность и нечетность функции.
3. Пересечение графика функции с осями координат.
4. Знакопостоянство функции.
5. Экстремальные точки и экстремумы функции.
6. Возрастание и убывание функции.
7. Поведение функции в окрестности “особых” точек и при х→ + ∞.
8. Построение графика функции.
1. Область определения и область значений функции. Пусть нам дана функция y = f(x). Все значения независимой переменной (х) образуют область определения функции - D( f ). Все значения, которые принимает зависимая переменная (у) ,
образуют область значений функции – Е ( f ).
2. Четность и нечетность функции.
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения
аргумента х верно равенство f ( -х ) = f ( х ).
График любой четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична от- носительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство f ( -х ) = - f ( х ).
График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Пересечение графика функции с осями координат.
Если график функции пересекает ось у, то в точке пересечения х = 0.
Если график пересекает ось х, то в точке пересечения у = 0.
4. Знакопостоянство функции.
(используется 3 пункт)
Чтобы определить знакопостоянство функции (найти промежутки, в которых функция принимает только положительные или только отрицательные значе- ния) , надо решить неравенства: f(x) > 0, f(x) < 0.
Чаще всего при решении неравенств используют метод интервалов.
5. Экстремальные точки и экстремумы функции.
Критические точки.
Окрестностью точки а называют любой интервал, содержащий эту точку.
Например, интервал [1;2] – одна из окрестностей точки 1,2.
Определение. Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для
всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) > f(x0).
Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) < f(x0).
Чаще всего в точках максимума происходит переход от возрастания функции к убыванию, а в точках минимума – убывания к возрастанию.
6. Возрастание и убывание функции.
(используется 5 пункт)
Функция называется возрастающей в некотором промежутке [а; в] , если большему значению аргумента ( х 2 > x 1) из этого промежутка соответствует
большее значение функции (f(x2) > f(x1)).
Функция называется убывающей в некотором промежутке [а; в] , если большему значению аргумента ( х 2 > x 1) из этого промежутка соответствует меньшее значение функции ( f(x2) < f(x1) ).
Если f ' (x) > 0 в каждой точке интервала (а; b), то функция f(x) на этом
интервале возрастает.
Если f ' (x) < 0 в каждой точке интервала (а; b), то функция f(x) на этом
интервале убывает.
Чтобы найти возрастание (убывание) функции надо:
1) Найти производную этой функции.
2) Найти критические точки ( см. пункт 5).
3) Отметить эти точки на числовой прямой.
4) Разбить эту прямую на интервалы.
5) Определить знак производной функции на каждом интервале.
6) Определить возрастание (убывание) функции.
7. Поведение функции в окрестности “особых” точек.
Встречаются точки, в которых функции не имеют значения, точки разрыва.
И при исследовании функции надо выяснить, как ведет себя функция в окрестности этой точки.
8. На основании 1-7 построение графика.