Провести полное исследование функции и построить их графики y=(X^3)*e^((-X^2)/2)

Решение:
1) Область определения: D(y) (-∞;∞)
2) Множество значений: E(y)
3) проверим, является ли функция четной или нечетной:
у (x)=x³*e^(-x²/2)
y(-x)=(-x)³*e^(-(-x)²/2)=-x³*e^(-x²/2)
Так как у (-х) =-у (х) , то функция не четная.
4) Найдем нули функции:
у=0; x³*e^(-x²/2)=0
x³=0
x=0
График пересекает оси координат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастаний и убывания:
y'=3x²*e^(-x²/2)-x^4*e^(-x²/2)=e^(-x²/2)*(3x²-x^4); y'=0
e^(-x²/2)*(3x²-x^4)=0
3x²-x^4=0
x²(3-x²)=0
x²=0
x1=0
3-x²=0
x2=√3
x3=-√3
Так как на промежутках (-∞;-√3) и (√3;∞) y'< 0, то на этих промежутках функция убывает.
Так как на промежутках (-√3;0) и (0;√3) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет.
Так как при переходе через точку х=√ производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (√3 )=-3√3*e^(-3/2)≈-23.1
Так как при переходе через точку х=-√ производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (√ )=3√3*e^(-3/2)≈23.1
В точке х=0 функция экстремума не имеет
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида:
y"=-x*e^(-x²/2)*(3x²-x^4)+e^(-x²/2)*(6x-4x³)=e^(-x²/2)*(6x-7x³+x^5); y"=0
e^(-x²/2)*(6x-7x³+x^5)=0
6x-7x³+x^5=0
x(x^4-7x²+6)=0
x1=0
x^4-7x²+6=0
a) x²=6
x2=-√6
x3=√6
б) x²=1
x4=1
x5=-1
Так как на промежутках (-∞;-√6) (-1:0) и (1; √6) y"< 0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутках (-√6;-1) (0;1) и (√6;∞) y"> 0, то на этих промежутках график функции направлен выпкулостью вниз.
Точки х=0; х=±1 и x=±√6 являются точками перегиба.
7) Проверим имеет ли данная функция асимптоты:
Так как точек разрыва финкция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот.
Наклонные асимптоты вида y=kx+b
k=lim (при х->∞) (x³*e^(-x²/2)/x)=∞
Наклонных асимптот функция не имеет.
8) Все, строй график