Как вы проведете полное исследование функции?

1. Область определения функции (-бесконечность; бесконечность)
2. Множество значений функции [0; бесконечность)
3. Проверим является ли данная функция четной или нечетной:
у (х) = x^2*e^(-x)
y(-) = x^2*e^x, так как у (х) не =у (-х) , и у (-х) не=-у (х) , то данная функция не является ни четной ни нечетной.
4. Найдем промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума.
y'(x) = 2x*e^(-x)-x^2*e^(-x) = e^(-x)*(2x-x^2); y'(x) = 0
е^(-x)*(2x-x^2)=0
х1=0; х2=2.
Данные стационарные точки разбили числовую прямую на 3 промежутка
Так как на промежутках (-бесконечность; 0) и (2; бесконечность) производная отрицательна, то на этих промежутках функция убывает
Так как на промежутке (0;2) производная положительна, то на этом прмежутке функция возрастает.
х=0 точка минимума, у (0) = 0
х=2 точка максимума, у (2) = 4/е^2
5. Найдем точки перегиба функции и промежутки выпуклости:
y"(x) = e^(-x)*(2-4x+x^2)
e^(-x)*(2-4x+x^2)=0
x1=2+корень из2
х2=2-корень из2
Так как На промежутках (-бесконечность; 2-корень из2) и (2+корень из2; бесконечность) вторая производная положительна, то график направлен выпуклостью вниз
Так ак на промежутке (2-корень из2; 2+корень из2) вторая производная отрицательна то график направлен выпуклостью вверх.
Точки х1 и х2 - точки перегиба графика функции.
6. Проверим имеет ли график функции асмптоты вида у=кх+в:
к=lim y(x)/x = lim x/e^x (по правилу Лопиталя получаем) = 0
в = lim y(x)-kx = lim x^2/e^x =бесконечность. Асимптот график функции не имеет.
7. все строй график. Удачи!!