Полное исследование функции…

1. Область определения функции (-бесконечность; бесклнечность)
2. Множество значений функции (
3. Проверим является ли данная функция четной или нечетной:
у (х) =x / (x - x^2 - 1)
у (-х) =-x / (-x - x^2 - 1), так как у (-х) не=у (х) и у (-х) не=-у (х) , то данная функция не является ни четной ни не четной.
4. Найдем точки пересечеия графика функии с осями координат:
у=0; x / (x - x^2 - 1)=0; х=0
Итак графк функции проходит через начало координат.
5. Найдем точки экстремума функции и промежутки возрастания и убывания:
y'(x)=(x^2-1)/(x-x^2-1): y'(x)=0
(x^2-1)/(x-x^2-1)=0
x^2-1=0
x1=1
x2=-1
получили 2 стационарные точки, проверим их на экстремум:
Так как на промежутках (-бесконечность; -1) и (1;бесконечность) y'(x)>0, то на этих проежутках функция возрастает.
Так как на промежутке (-1;1) y'(x)<0, то на этом промежутке функция убывает
Точка х=-1является точкой максимума у (-1)=1
Точка х=1 является точкой минимума и у (1)=-1
6. Найдем точки перегиба функции и промежутки выпуклости:
y"(x)=(2x^3-6x+2)/(x-x^2-1)^3; y"(x)=0
(2x^3-6x+2)/(x-x^2-1)^3=0
2x^3-6x+2=0
Данное уравнение не имеет рациональных корней, корень этого уравнения принадлежит промежутку (0;1) Обозначим его х'
Так как на промежутке (-бесконечность; x') y"(x)<0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутке (x'; бесконечность) y"(x) >0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз
Точка х' является точкой перегиба.
7. Проверим имеет ли график функции асимптоты
а) вертикальные:
Так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот
б) наклонные вида : y=kx+b
k=limy(x)/x=limx1/ (x - x^2 - 1)=-0
b=lim(y(x)-kx)=limy(x)=0
Следовательно ось абсцисс является горизонтальной асимптотой.
8, По данный исследования тебе осталось построить этот график. Удачи!