Решите пожалуйста Исследовать функцию и постройте схематический график y=2x^3+x^2-8x-7

f = -8*x + 2*x^3 + x^2 - 7 График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 + x^2 - 8*x - 7.
$$-7 + 2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -7$$
Точка:

(0, -7) Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x^{2} + 2 x - 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

19
(-4/3, --)
27

(1, -12)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{4}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -4/3] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-4/3, 1]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(6 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/6, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/6]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 8 x + 2 x^{3} + x^{2} - 7\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 8 x + 2 x^{3} + x^{2} - 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 + x^2 - 8*x - 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 8 x + 2 x^{3} + x^{2} - 7\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 8 x + 2 x^{3} + x^{2} - 7\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:

3 2 2 3
2*x + x - 8*x - 7 = -7 + x - 2*x + 8*x

- Нет

3 2 2 3
2*x + x - 8*x - 7 = 7 - x - -2*x - 8*x

- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной