помогите пожалуйста исследовать функции. 1) (x-2)^2*(x+2) 2) (x^4-3)/x^3 3) 16/(x^2*(x-4))

1) y = (x - 2)^2*(x + 2)
Пересечение с осями
x = 0, y = (-2)^2*2 = 8
y = 0, x1 = x2 = 2, x3 = -2
Экстремумы
y ' = 2(x - 2)(x + 2) + (x - 2)^2 = (x - 2)*(2(x + 2) + (x - 2)) = (x - 2)*(3x+2)
x1 = 2, y(2) = 0 - т. минимума
x2 = -2/3, y(-2/3) = (-2/3 - 2)^2*(-2/3 + 2) = (-8/3)^2*4/3 = 64/9 * 4/3 = 256/27 = 9 + 13/27 - т. максимума
Точки перегиба
y '' = [ (x - 2)*(3x+2) ] ' = 3x + 2 + 3(x - 2) = 3x + 2 + 3x - 6 = 6x - 4 = 2(3x - 2) = 0
x = 2/3, y(2/3) = (2/3 - 2)^2*(2/3 + 2) = (-4/3)^2*8/3 = 16/9 * 8/3 = 128/27 = 4 + 20/27
При x < 2/3 : y '' < 0 - график выпуклый вверх
При x > 2/3 : y '' > 0 - график выпуклый вниз
Асимптоты
Вертикальных асимптот (точек разрыва) нет
Наклонные: Y = kX + b
k = lim [x -> oo] (y / x) = lim [x -> oo] ((x - 2)^2*(x + 2) / x) = oo
Наклонных асимптот нет

2) y = (x^4 - 3) / x^3
Пересечение с осями
x = 0 - точка разрыва
y = 0, x1 = x2 = корень 4 ст (3), x3 = x4 = -корень 4 ст (3)
Экстремумы
y ' = (4x^3*x^3 - (x^4 - 3)*3x^2) / x^6 = (4x^6 - 3x^6 + 9x^2) / x^6 = (x^6 + 9x^2) / x^6 = (x^4 + 9) / x^4 = 0
x^4 + 9 = 0 - решений нет
Экстремумов нет
Точки перегиба
y '' = [ (x^4 + 9) / x^4 ] ' = (4x^3*x^4 - (x^4 + 9)*4x^3) / x^8 = (4x^7 - 4x^7 + 36x^3) / x^8 = 36/x^5 = 0
Точки перегиба нет
При любом x не = 0 : y '' > 0 - график выпуклый вниз
Асимптоты
Вертикальная асимптота (точка разрыва) x = 0
Наклонные: Y = kX + b
k = lim [x -> oo] (y / x) = lim [x -> oo] ((x^4 - 3) / x^4) = 1
b = lim [x -> oo] (y - kx) = lim [x -> oo] ((x^4 - 3) / x^3 - x) = lim [x -> oo] (x - 3/x^3 - x) = 0
Наклонная асимптота: Y = X

3) y = 16 / (x^2*(x - 4))
Пересечение с осями
x = 0 - точка разрыва
y = 0 - не бывает
Экстремумы
y ' = [- 16(2x(x - 4) + x^2) ] / (x^4*(x - 4)^2) = -16(3x^2 - 8x) / (x^4*(x - 4)^2) = 0
3x^2 - 8x = 0
x1 = 0 - т. разрыва, не экстремум
x2 = 8/3, y(8/3) = 16 / [(8/3)^2*(8/3 - 4)] = 16 / [64/9*(-(4 - 8/3)] = -16 / [64/9*4/3] = -16 / (256/27) = -27/16
x2 = 8/3, y(8/3) = -27/16 : т. максимума
Точки перегиба
y'' = [-16(3x^2-8x)/(x^4*(x-4)^2)]' = -16[(6x-8)*x^4(x-4)^2-(3x^2-8x)(4x^3(x-4)^2+x^4*2(x-4))]/(x^8(x-4)^4) = 0
[(6x-8)*x^4(x-4)^2-x(3x-8)*4x^3(x-4)^2-x(3x-8)*2x^4(x-4)]/(x^8(x-4)^4) = 0
= [x^4(x-4)^2(6x-8)-4x^4(x-4)^2(3x-8)-2x^5(x-4)(3x-8)]/(x^8(x-4)^4) = 0
= x^4(x-4)[(x-4)(6x-8)-4(x-4)(3x-8)-2x(3x-8)]/(x^8(x-4)^4) = 0
= [6x^2 - 24x - 8x + 32 - 4(3x^2 - 12x - 8x + 32) - (6x^2 - 16x)]/(x^4(x-4)^3) = 0
= [6x^2 - 24x - 8x + 32 - 12x^2 + 48x + 16x - 128 - 6x^2 + 16x)]/(x^4(x-4)^3) = 0
= [-12x^2 + 48x - 96] / (x^4(x-4)^3) = -12(x^2 - 4x + 8) / (x^4(x-4)^3) = 0
x^2 - 4x + 8 = x^2 - 4x + 4 + 4 = (x - 2)^2 + 4 = 0 - решений нет
Точки перегиба нет
При любом x не = 0 : y '' > 0 - график выпуклый вниз
Асимптоты
Вертикальные асимптоты (точки разрыва) x1 = x2 = 0, x3 = 4
Наклонные: Y = kX + b
k = lim [x -> oo] (y / x) = lim [x -> oo] (16 / (x^3*(x - 4)) = 0
b = lim [x -> oo] (y - kx) = lim [x -> oo] (16 / x^3*(x - 4) - 0) = lim [x -> oo] (16 / x^3*(x - 4)) = 0
Наклонная асимптота: Y = 0, то есть ось ОХ

Не забудь Михаилу 10 баллов поставить!