Как правильно решать такие примеры?

привести все значения к функциям от угла в пределах 0 до 90 градусов (учесть цикличность, симметричность функций)
дальше видно будет, что можно посокращать

например tg(107) = tg(90+17)= ( sin(90)cos(17)+sin(17)cos(90) ) / ( cos(90)cos(17) - sin(90)sin(17) ) = - cos(17) / sin (17) = -1 / tg(17)

т. е tg(17)*tg(107) = -1

Первые два примера использовать формулы приведения и чётность/нечётность тригонометрических функций:

1) cos(−750°) = cos 750° = cos(750°−720°) = cos 30° = √3/2;
⇒
4√(3 cos(−750°)) = 4√(3√3/2) = 2√2 * 3^(¾)

2) tg(−300°) = tg(360°−300°) = tg 60° = √3
⇒
2√(3*tg(−300°)) = 2√(3√3) = 2*3^(¾).

Если имелась в виду дробь, то она равна
(2√2 * 3^(¾)) / (2*3^(¾)) = √2.
===================================

В оставшихся примерах также используем формулы приведения:

3) 14 sin 19° / sin 441° = 14 sin 19°/sin(360°+81°) =
= 14 sin 19°/sin(90°−19°) = 14 sin 19°/cos 19° =
= 14 tg 19°.(это значение не упрощается)

4) 5 tg 17° * tg 107° = 5 tg 17° * tg(90°+17°) =
= 5 tg 17° * (−1/tg 17°) =
= −5.

Всё очень просто.
Надо применить несколько формул тригонометрии
Вот например, найдём значение выражения: "5*tg17* tg107"
Так как по формуле приведения tgx=ctg(90-x), то tg107=ctg(90-107)=ctg(-17)=-ctg17.
А теперь применяем правило tgx*ctgx=1 при любом значении "х"
То есть 5*tg17* tg107=-5*tg17*ctg17=-5*1=-5
То есть значение выражения равно (-5)

Первый пример решается тоже по формулам приведения:
Косинус функция чётная, поэтому
cos(-750)=cos750=cos(720+30)=cos30=sqrt(3)/2
Умножаем 4*sqrt(3)*(sqrt(3)/2)=4*3/2=6
Ответ 6

В двух оставшихся примерах надо тоже применить формулы приведения:
sin441=sin(360+81)=sin81
tg(-300)=-tg300=-tg(360-60)=-tg(-60)=tg60=sqrt(3)

sqrt-это квадратный корень
То есть при решении применяются формулы тригонометрии, которые есть в любом учебнике математики (приведу несколько формул)
sin(90-x)=cosx
tgx*ctgx=1
cosx=cos(-x)
cos(360-x)=cosx
Вот и всё решение.