Математики! Подскажите пожалуйста с решением уравненния с модуоем 3+Isinx-3cosxI=3sinx+cosx. Второй день уже решаю.

3 + |Sin x − 3Cos x| = 3Sin x + Cos x

Делим обе части ур-ия на √(1 + 3²) = √10 и вводим вспомогательный аргумент:
φ = arcsin (3/√10)

3/√10 + |Sin x / √10 − 3Cos x / √10| = 3Sin x / √10 + Cos x / √10

3/√10 + |Sin (x − φ)| = Cos (x − φ)

Пусть z = Cos (x − φ), тогда:

3/√10 + √(1 − z²) = z

√(1 − z²) = z − 3/√10

{1 − z² = (z − 3/√10)²
{z ≥ 3/√10

1 − z² = (z − 3/√10)²

1 − z² − z² + 6z/√10 − 9/10 = 0

−2z² + 6z/√10 − 1/10 = 0

Умножаем обе части ур-ия на −10, получаем:
20z² − (6√10)z − 1 = 0

Решение этого уравнения:
z = (3√10 ± √110) / 20

Из первого уравнения системы следует, что 1 − z² ≥ 0, значит, оба корня удовлетворяют условию:
|z| ≤ 1

Сравним оба корня с числом 3/√10

1) z = (3√10 − √110) / 20 < 0 < 3/√10 — не подходит

2) z = (3√10 + √110) / 20 ∨ 3/√10
30 + √1100 ∨ 60
1100 > 30² ⇒ z = (3√10 + √110) / 20 > 3/√10 — подходит

Вернёмся к замене:
Cos (x − φ) = (3√10 + √110) / 20

Отсюда:
x = arcsin (3/√10) ± arccos ((3√10 + √1100) / 20) + 2πn, n ∈ Ζ

Ответ: x = arcsin (3/√10) ± arccos ((3√10 + √1100) / 20) + 2πn, n ∈ Ζ

2 ситуации
1- модуль раскрывется со знаоком +
будет 3+sinx-3cosx=3sinx+cosx
2-модуль раскрывается со знаком -
будет 3-sinx+3cosx=3sinx+cosx
решаешь оба

1)Если (sinx-3cosx) не меньше (больше или равно) нулю, то есть tg x не меньше 1/3 ; х не меньше 18 градусов
3+sinx-3cosx=3sinx+cosx
2sinx+4cosx-3=0
Переход к половинному углу.
4(sinx/2)*(cosx/2)+4(cosx/2)^2-4(sinx/2)^2-3(cosx/2)^2-3(sinx/2)^2=0
4(sinx/2)*(cosx/2)+(cosx/2)^2-7(sinx/2)^2=0
7(sinx/2)^2-(cosx/2)^2-4(sinx/2)*(cosx/2)=0
7( tanx/2)^2-4 (tanx/2)-1=0
Корни 0,76 и -019 Углы х/2=37град и (-11) примерно
х=74 и (-22)градуса Второй корень не подходит, т. к угол должен быть не меньше 18 градуса

2) Если (sinx-3cosx) меньше нуля, то есть tg x меньше 1/3 ; х меньше 18 градусов
3-sinx+3cosx=3sinx+cosx
4sinx-2cosx-3=0
Переход к половинному углу.
8(sinx/2)*(cosx/2)-2(cosx/2)^2+2(sinx/2)^2-3(cosx/2)^2-3(sinx/2)^2=0
8(sinx/2)*(cosx/2)-5(cosx/2)^2-(sinx/2)^2=0
(sinx/2)^2+5(cosx/2)^2-8(sinx/2)*(cosx/2)=0
( tanx/2)^2-8 (tanx/2)+5=0
Корни 0,68 и 7,3 Углы х/2=43град и (82) примерно
х=86 и 162 градуса первый точно не подходит, т. к угол должен быть меньше 18 градуса
Проверим второй (sinx-3cosx)=(0,31-3(-0,95))=+2,54 не подходит, т к выражение должно быть меньше 0
Ответ :74 градуса +2 пиэн
Когда будешь переписывать, проверь арифметику и формулы и знаки. Очень мелкий шрифт, могла спутать.