Как найти координаты вписываемой окружности?

если найти уравнение линии, которая проходит через центр окружности и вершину угла (обозначим эту функцию у1(х) ) и уравнение
линии которая проходит через центр окружности и параллельно касательной, правой, (обозначим эту функцию у2(х) ) то точка пересечения этих линий даст искомые координаты.
у1(х) - уравнение прямой. угол наклона ее относительно положительного направления оси х это (п/2-а/2). эначит угловой к-т этой прямой равен tg(п/2-а) . пересекает эта линия ось у в точке (0,15). значит уравнение прямой: у1(х) = tg(п/2-а/2)*х+15.
Теперь найдем уравнение прямой у2(х) . так как она параллельна правой касательной, то и угловой к-т ее такой же. угол наклона этой касательной относительно положительного направления оси х это (п/2-а) . ось у она пересекает в точке, которая выше вершины угла на величину r/sin(a) - это легко увидеть. значит уравнение прямой: у2(х) = tg(п/2-а) *х+15+r/sin(a).
теперь если мы решим совместно систему уравнений
у = tg(п/2-а/2)*х+15
у = tg(п/2-а) *х+15+r/sin(a).

то и получим точку пересечения. из первого уравнения вычтем второе.
у-у=tg(п/2-а/2)*х+15- tg(п/2-а) *х-15-r/sin(a).
0=х*(tg(п/2-а/2)-tg(п/2-а)) -r/sin(a)

xс=( r/sin(a) ) / (tg(п/2-а/2)-tg(п/2-а) )
ус = tg(п/2-а/2)*х+10 = tg(п/2-а/2)*( r/sin(a) ) / (tg(п/2-а/2)-tg(п/2-а)) +15

Эта пара чисел даст координаты центра.

уравнение окр:
у=+-sqrt((x-xc)^2+r^2)+yc.

искомые точки тоже нужно искать решая системы уравнений совместно окр и одной касательной, потом окр и другой касательной
и окр и биссектрисы.

у=+-sqrt((x-xc)^2+r^2)+yc
y=tg(п/2-а) *x+15 это будет правая точка

у=+-sqrt((x-xc)^2+r^2)+yc
x=10 это будет левая точка

у=+-sqrt((x-xc)^2+r^2)+yc
y=tg(п/2-а/2)*x+15 это будет средняя точка

решите эти 3 простенькие системы и получится 3 пары координат.

надеюсь нигде не ошибся)

Во-первых, у окружности не бывает координат - это не точка! Могут быть координаты у центра или у точки НА окружности! Но не самой окружности.
Во-вторых, вы не указали, как расположен угол по отношению к системе координат.
Поэтому, каким бы чудесным не был тот ответ, о ктором Вы говорите, он НЕ может быть правильным! Так что, не переживайте, что не всё разобрали!