Про монеты

для этого достаточно три взвешивания. правда от пересмотров вариантов может головёнка закружится. Попутно можно выяснить, легче или тяжелее настоящих фальшивая монета
Разобьём все монеты на три кучки по 4 монеты в каждой
При первом взвешивании поместим на каждую чашку весов по 4 монеты Возможные варианты, их три
1) если весы в равновесии, то все 8 монет на весах настоящие. При втором взвешивании на одну чашку весов положим 3 монеты из третьей группы, а на вторую 3 настоящие
а) если весы в равновесии, то на весах 6 настоящих монет. а фальшивая та, которая ещё не была на весах
Третьим взвешиванием сравниваем её с настоящей и узнаём легче она или тяжелее настоящей
б) Если перевесит чашка весов с настоящими монетами, то фальшивая монета легче и находится среди 3 монет на другой чашке. и следующим взвешиванием мы её находим
в) Если перевесит чашка весов с монетами из третьей группы, то фальшивая монета тяжелее и среди трёх монет её находим одним следующим взвешиванием
2) Если одна из чашек весов перевесит, то фальшивая монета на весах, а все 4 монеты из третьей группы настоящие
Пусть первая группа тяжелее второй ( если вторая группа тяжелее первой, то рассуждения проводим аналогично)
Тогда при втором взвешивании на одну чашку весов положим одну монету из первой группы и 3 настоящие монеты, а на вторую -3 остальные монеты из первой группы и 1 из второй
а) Если весы в равновесии, то фальшивая монета легче настоящей и она среди трёх монет второй группы, которые при втором взвешивании были отложены и третьим взвешиванием мы её находим
б) Если перевесит чашка весов только с одной монетой из из первой группы, то либо она фальшивая и тяжелее настоящей. либо на второй чашке весов одна монета из второй группы фальшивая и легче настоящей. Для выяснения этого сравним одним взвешиванием любую из них с настоящей
в) Если перевесит чашка весов с тремя монетами из первой группы, то фальшивая монета тяжелее настоящей, и она среди трёх монет, переложенных из первой группы. И следующим взвешиванием мы её находим

разделить на 3 группы по 4 монеты. взвешиваем 2 группы. если есть фальшивая, одна группа перевесит. делим одну из групп и продолжаем вешать. если они одинаковые. вешаем 3-тью группу

Как максимум семь взвешиваний. Кладём одновременно по одной монете на каждую чашку. Когда весы потеряют равновесие одна из монет фальшивая. Берём одну из монет из "фальшивой" группы и одну монету из "хорошей" группы и узнаём есть-ли разница в весе. Если ДА то это и есть фальшивая монета, если НЕТ разницы то фальшивая монета та котрую на весы мы не клали.