Найдите площадь треугольника ABC с высотой CH, если АВ=3 см и СН=6см

S=ah/2, где а-сторона, h - высота, проведенная к этой стороне
Отсюда:
S=3х6/2= 9
Ответ: 9

11.1.9.3. Площади криволинейных трапеций, заключенных между двумя кривыми

В алгебре часто решаются задачи на нахождение площади криволинейной трапеции, заключенной между двумя кривыми. Различают два случая: 1) переменная интегрирования х; 2) переменная интегрирования у.

Рассмотрим оба этих случая.

1) переменная интегрирования х. В этом случае трапеция ограничена сверху и снизу двумя кривыми, а слева и справа прямыми х=а, х=b. (рис. 1). Границы интегрирования a и b, а чтобы получить подынтегральную функцию, мы из уравнения верхней линии вычитаем уравнение нижней линии. Тогда площадь трапеции:

2) переменная интегрирования у. Криволинейная трапеция ограничена справа и слева двумя кривыми, а снизу и сверху прямыми y=a, y=b. (рис. 2). Границы интегрирования a и b. Чтобы получить подынтегральное выражение, мы из уравнения правой линии вычтем уравнение левой линии. Тогда площадь трапеции:

11.1.9.2. Площадь криволинейной трапеции, прилегающей к оси Оу

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу (рис. 1) и ограничена непрерывной кривой x=f (y), осью ординат (прямой х=0) и прямыми y=a, y=b, то ее площадь вычисляется по той же формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л), только переменная интегрирования не х, а у:

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=x², y=1, y=4 и осью Оу.

Решение. Построим данную криволинейную трапецию (рис. 2). Выразим х через у:

Искомую площадь S находим по формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л). У нас a=1, b=4.

11.1.9.2. Площадь криволинейной трапеции. Примеры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, слева и справа прямыми х=a, x=b, находят по формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л):

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x²; y=0; x=0; x=4.

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.

Вершина параболы находится

в точке O′(m; n), где

О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:

4х-х²=0.

Выносим х за скобки, получаем: х (4-х) =0. Отсюда, х=0 или х=4. Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).

2) y=0 — это ось Ох; 3) х=0 — это ось Оy; 4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по (ф. Н-Л). У нас f (x)=4x-x², a=0, b=4.

Кстати, если Вы подсчитаете все целые заштрихованные клетки и добавите к ним половину всех остальных клеток заштрихованной фигуры, то получите приближенное значение искомой площади. Действительно, если единичный отрезок равен одной клетке, то площадь квадратика со стороной, равной 1 клетке, равна 1·1=1 (кв. ед.). Сколько квадратиков — столько квадратных единиц и составляет площадь фигуры.

Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 2).

Площадь данной криволинейной трапеции:

11.1.9.1. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

Пора познакомиться с мощнейшим средством исследования в математике, физике, механике и других точных дисциплинах. Это средство — определенный интеграл. В средней школе определенный интеграл применяют при вычислениях площадей криволинейных трапеций, объемов тел вращения, нахождении моментов инерции и т. д.

Что такое определенный интеграл? Чем он отличается от неопределенного, с которым мы уже достаточно знакомы.

Сравните:

a и b — это границы, в которых изменяется переменная интегрирования х.

Сравниваем далее:

Неопределенный интеграл графически представляет собой семейство кривых, совмещаемых параллельным