диагонали четырехугольника пересекаются под прямым углом, найдите AD если AB=1, CD=7

А ничего хорошего не получится.
Проше всего это решать с помощью векторных методов.
Надо найти угол между векторами ВА = (1,8) и CD = (7,1) (я перевернул чертеж, или- если хотите, перечислил вершины против часовой стрелки, на ответ это не влияет)
Модули равны
ВА = корень (65); CD = корень (50);
скалярное произведение
(ВА, CD) = 1*7 + 8*1 = 15;
cos(AMD) = 15/корень (65*50) = 3/корень (130);
Это почти 75 градусов (точнее 74,7448812969422)
можете жаловаться :)))

Могу предложить решение и без векторов. Дело в том, что если из точки D провести прямую II CB, отложить на ней отрезок, равный СВ (пусть получилась точка D1) и соединить D1 и В, то CDD1B - параллелограмм. Поэтому угол АМD = угол АВD1, и нам достаточно найти AD1. Но если мы теперь опустим перпендикуляр на АО (точка К) из точки D1, то по построению точки D1 имеем АК = 7, КD1 = 6, АD1 = корень (7^2 + 6^2) = корень (85);
АВ и ВD1 мы уже знаем ВА = корень (65); BD1 = CD = корень (50);
Осталось только вычислить угол при между сторонами
корень (65) и корень (50), если третья сторона корень (85);
Первое, что можно сделать - сократить все стороны на равное число (преобразование подобия не меняет углы), делим все на корень (5)
имеем
корень (13) и корень (10), если третья сторона корень (17);
по теореме косинусов
17 = 13 + 10 - 2*корень (130)*cos(Ф); cos(Ф) = 3/корень (130)
удивительно похоже на предыдущий ответ :))))