В треугольнике АВС медианы AK и BL пересекаются под прямым углом.

Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 1/2
Пусть О-точка пересечения медиан. Обозначим LO-a,КО-в, тогда ВО-2а, АО-2в
Рассмотрим тр. АОL:прямоугольный-по условию. АО=2в, LO-a, AL=корень из 13.
По теореме Пифагора: (2в) в квадрате+а в квадрате=корень из 13 в квадрате. (1)
Рассмотрим тр. ВОК: ВО-2а, КО-в, КВ=корень из 73 /2
По теореме Пифагора: (2а) в квадрате+в в квадрате=(корень из 73/2)в квадрате (2)
Сложим выражение (1) с выражением (2)
Получаем: 5 а*а+5в*в=13+73/4
(а*а+в*в) *5=(52+73)/4
а*а+в*в=25/4 (3)

Рассмотрим тр. АОВ-прямоугольный; АО=2в, ВО=2а
Значит, по теореме Пифагора:
АВ*АВ=4а*а+4в*в=4(а*а+в*в)
Из выражения (3):а*а+в*в=25/8
АВ*АВ=4*25/4
АВ=5

Вот-если в расчётах ничего не напутала

Пусть M — точка пересечения AK и BL. Построим параллелограммы ABDC и ABCE.

Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершин. Поэтому

AK = ³⁄₂AM, BL = ³⁄₂BM;
AD = 2AK = 3AM, BE = 3BM.
AD² + BE² = (3AM)² + (3BM)² = 9AB².

Запишем для параллограммов ABDC и ABCE свойство, что сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:

2(AB² + AC²) = BC² + AD²,
2(AB² + BC²) = AC² + BE².

Складываем:

4AB² + 2(52 + 73) = 73 + 52 + 9AB²,
5AB² = 52 + 73 = 125,
AB² = 25,
AB = 5.

Обозначим точку пересечения медиан Р. Тогда по свойству медиан ВР: РL=АР: РК+2:1.
Обозначим РL=х, РК=у. Из треуг-ка АРL по тереме пифагора и треуг-ка ВРК
х^2+(2у) ^2=13
(2x)^2+у^2=73/4.
Найдем х=2, у=3/2.
Из треуг АВР по теореме пифагора
АВ^2=(2х) ^2+(2y)^2
AB=5