Как доказать, что углы прямоугольных треугольников равны

так тр-ки равны по гипотенузе и катету.

отсюда- против равных сторон лежат равные углы

Учить надо материал

Введение и доказательство первого признака равенства прямоугольных треугольников

Вспом­ним из ма­те­ри­а­ла преды­ду­ще­го урока, пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ни­ком на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник, если у него хотя бы один из углов пря­мой (т. е. равен 90о).

Рас­смот­рим пер­вый при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков: если два ка­те­та од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум ка­те­там дру­го­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Про­ил­лю­стри­ру­ем дан­ный слу­чай:

Рис. 1. Рав­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки

До­ка­за­тель­ство:

Вспом­ним о пер­вом ра­вен­стве про­из­воль­ных тре­уголь­ни­ков.

Рис. 2

Если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка и со­от­вет­ству­ю­щие им две сто­ро­ны и угол между ними вто­ро­го тре­уголь­ни­ка равны, то дан­ные тре­уголь­ни­ки равны. Об этом гла­сит пер­вый при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, то есть:

АВС = .

Ана­ло­гич­ное до­ка­за­тель­ство сле­ду­ет и для пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков:

.

Тре­уголь­ни­ки равны по пер­во­му при­зна­ку.

Введение и доказательство второго признака равенства прямоугольных треугольников

Рас­смот­рим вто­рой при­знак ра­вен­ства пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. Если катет и при­ле­жа­щий к нему ост­рый угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ка­те­ту и при­ле­жа­ще­му остро­му углу дру­го­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Рис. 3

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 4

Вос­поль­зу­ем­ся вто­рым при­зна­ком ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Ана­ло­гич­ное до­ка­за­тель­ство и для пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков:

Тре­уголь­ни­ки равны по вто­ро­му при­зна­ку.

Введение и доказательство третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Рас­смот­рим тре­тий при­знак ра­вен­ства пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков: если ги­по­те­ну­за и при­ле­жа­щий к ней угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 5

Вспом­ним вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Рис. 6

Дан­ные тре­уголь­ни­ки равны, если:

По­сколь­ку из­вест­но, что одна пара ост­рых углов у пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков равна (∠А = ∠А1), то ра­вен­ство дру­гой пары углов (∠B = ∠B1) до­ка­зы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

.

По­сколь­ку АВ = А1В1 ( по усло­вию), ∠В = ∠В1, ∠А = ∠А1. По­это­му тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1 равны по вто­ро­му при­зна­ку.

Введение и доказательство четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников, введение понятия «внешний угол треугольника»

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Если катет и ги­по­те­ну­за од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе дру­го­го тре­уголь­ни­ка, такие пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны.

Рис. 7

До­ка­за­тель­ство:

Сов­ме­стим на­ло­же­ни­ем тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1. Пред­по­ло­жим, что вер­ши­ны А и А1, а также С и С1 сов­ме­сти­лись на­ло­же­ни­ем, а вер­ши­на В и точка В1 не сов­па­да­ют. Имен­но этот слу­чай ука­зан на сле­ду­ю­щем ри­сун­ке:

Рис. 8

В дан­ном слу­чае мы можем за­ме­тить рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВВ1 (по опре­де­ле­нию – по усло­вию АВ = АВ1). По­это­му по свой­ству, ∠АВ1В = ∠АВВ1. Рас­смот­рим опре­де­ле­ние внеш­не­го угла. Внеш­ним углом тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся угол, смеж­ный лю­бо­му углу тре­уголь­ни­ка. Его гра­дус­ная мера равна сумме двух углов тре­уголь­ни­ка, несмеж­ных с ним. На ри­сун­ке ука­за­но дан­ное со­от­но­ше­ние:

Рис. 9

Угол 5 яв­ля­ет­ся внеш­ним углом тре­уголь­ни­ка и равен ∠5 = ∠1 + ∠2.