Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Какие значения может принимать площадь этого треугольника?

Строгое математическое решение (а не полуэмпирическая ничем не доказанная дребедень из предыдущих ответов):
Пусть один из катетов треугольника равен а. Из теоремы Пифагора выразим второй катет треугольника:
a^2+b^2=144
b=sqrt(144-a^2)
Выразим площадь треугольника в виде полупроизведения катетов:
S=a*sqrt(144-a^2)/2=sqrt(144*a^2-a^4)/2=(144*a^2-a^4)^(1/2)/2
Найдем первую производную:
S'(а) =-1/4*(144*a^2-a^4)^(-1/2)*(288*a-4*a^3)
Для нахождения максимума и минимума функции площади приравняем первую производную нулю:
S'=0
Дробь равна нулю в том и только в том случае, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (то есть, a не должно быть равно 0 и не должно быть равно +/-12). Приравниваем числитель дроби нулю (первая скобка в степени -1/2 находится в ЗНАМЕНАТЕЛЕ дроби!)
288*a-4*a^3=0
a*(288-4*a^2)=0
Произведение сомножителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, приравниваем сомножители нулю по очереди:
1)
a1=0 - вырожденный в отрезок треугольник (знаменатель дроби при этом равен 0, это показывает, что площадь треугольника может быть сколь угодно близка к нулю, но нулем быть не может, иначе это уже не треугольник!)
b1=12
Smin=0*12=0 (площадь треугольника, вырожденного в отрезок)
2)
288-4*a^2=0
a^2=72
a2=6*sqrt(2)
b2=6*sqrt(2)
Smax=a*b/2=36
a3=-6*sqrt(2) - посторонний корень, длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом.
Ответ: 0 < S <= 36

Если С - гипотенуза, то максимальная площадь С^2/4.

Сторона, при которой достигается наибольшая площадь:
6*корень (2)
(при этом катеты равны)
Наибольшая площадь равна:
1/2*36*2=36
Площадь может принимать значения из интервала
(0; 36]