Математика 7-й класс.

Из точки А опустим высоту к стороне ВС, точку пересечения стороны высотой назовём О
ВМ = 0,4а
МС = 0,6а
ОС = 0,5а
ОМ = 0,1а
Сама высота равна по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВО
АВ^2 = ВО^2 + АО^2
а^2 = (а/2)^2 + АО^2
АО^2 = 3/4 * а^2
АО = sqrt(3)/2 * а
----------
теперь из треугольника АОМ найдём его гипотенузу
АМ^2 = АО^2 + ОМ^2
АМ^2 = 3/4 * а^2 + (0,1а) ^2
АМ^2 = 3/4 * а^2 + 0,01а^2
АМ^2 = 0,76а^2
АМ = sqrt(0,76)а

Теорема Стюарта вам поможет.
a²(3a/8)+a²(5a/8)=a(x²+(3a/8)(5a/8))
8a³/8=ax²+15a³/64
ax²=49a³/64
x=7a/8

AB = BC = AC = a
AK - высота к ВС
BM : MC = 3 : 5 = 3x : 5x ------> a = BC = 3x + 5x = 8x -------------> x = a\8
=>
BM = 3x = 3 * a\8 = 3a\8
MC = 5x = 5 * a\8 = 5a\8
BK = KC = a\2
=>
MK = MC - KC = 5a\8 - a\2 = 5a\8 - 4a\8 = a\8
=> в треугольнике AKC:
AK^2 = AC^2 - KC^2 = a^2 - (a\2)^2 = a^2 - a^2\4 = 3a^2\4 =>
=> в треугольнике AMK:
AM^2 = AK^2 + MK^2 = 3a^2\4 + (a\8) = 3a^2\4 + a^2\64 =
= 48a^2\64 + a^2\64 = 49a^2\ 64 = (7a\8)^2 -------------> AM = 7a\8