Задача в олимпиаде

Можно записать конфигурацию ожерелья тремя цифрами ABC,

где A — число синих шариков между первым и вторым красными,
B — между вторым и третьим,
C — между третьим и первым.

Естественно, C = 7 − A − B.

Можно перенумеровать красные шарики, перемещая их по кольцу,
поэтому ABC = BCA = CAB.
Можно перевернуть ожерелье, поэтому ABC = CBA = BAC = ACB.
Все шесть возможных перестановок конкретных цифр соответствуют одинаковым ожерельям.

Поэтому, если мы, например, рассмотрели ожерелье 124, то не нужно проверять 142, 421 или другое ожерелье, в котором цифры идут по убыванию. Следовательно достаточно рассмотреть только неубывающие варианты.

Какие тогда остаются варианты?
Я вижу такие (O — красный шарик, o — синий):

007 — OOOooooooo
016 — OOoOoooooo
025 — OOooOooooo
034 — OOoooOoooo
115 — OoOoOooooo
124 — OoOooOoooo
133 — OoOoooOooo
223 — OooOooOooo

Чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить, что количество различных ожерелий рассчитывается по формуле Бернсайда для вращающихся и отражаемых фигур.

В данной задаче у нас есть 10 шариков (3 красных и 7 синих).

Для наглядности разделим задачу на два этапа:

1) Рассмотрим случай, когда нет отражений. Здесь существует 10 вращений. Для каждого вращения мы можем использовать формулу для равномерного разделения на группы и формулу мультинома.

2) Теперь рассмотрим случай, когда у нас есть отражение. Здесь существует еще 10 вращений (отражение, затем вращение). При отражении шарики должны быть зеркально отображены, что делает его более сложным.

Затем, добавляем полученные результаты вместе и делим их на общее количество вращений (20 в этом случае), чтобы получить общее количество различных ожерелий.

Будем задавать ожерелье по размерам групп синих шариков между красными. Это три числа с суммой 7. Перебираем: 007, 016, 025, 034, 115, 124, 133, 223. И того 8 ожерелий.

Подготовка к олимпиаде.

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику. Мы имеем 3 красных и 7 синих шариков, поэтому всего у нас будет 10 шариков.

Для создания ожерелья мы можем выбрать любой из 10 шариков в качестве первого шарика. Затем мы можем выбрать любой из оставшихся 9 шариков в качестве второго шарика, и так далее, пока не создадим все 10 шариков для ожерелья.

Таким образом, общее количество различных ожерелий можно вычислить как произведение чисел от 10 до 1 (10!), что равно:

10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800

Итак, существует 3 628 800 различных ожерелий, которые можно создать из 3 красных и 7 синих шариков.