Если брать визу шенген где страна въезда будет Бельгия, а самолёт с пересадкой

При оформлении визы, в анкете есть пункт - страна первого въезда, и там, в вашем случае, должна быть указана Венгрия . Проблем никаких не должно возникать, и никаких "черных меток" ,как тут сказали. Кто-нибудь, когда-нибудь может спросить, почему штамп не бельгийский (в моём случае это был немецкий стажёр-пограничник ) ,но тогда говорите, что самолёт был с пересадкой в Венгрии, и этого вполне достаточно. И, естественно, вы сможете выйти, если позволит время. Я не знаю, как в Будапеште, иногда паспортный на выход и трансфер разный, но даже в этом случае пограничники могут что-то сказать, если мало времени до вашего рейса, такое я видела.

значит, страна въезда не Бельгия. Пишите в анкете правильно, и гуляйте себе, где хотите
только в Венгрии на контроле могут спросить, где Вы ночуете и сколько при себе денег

Да, можете. Но страной въезда будет Венгрия, а не Бельгия. Именно в Будапеште будет паспортный контроль, а далее внутренний перелет в Бельгию.

никто контролировать не будет, куда Вы там пойдёте гулять. Вам штамп шлёпнут (если шлёпнут) и тогда больше Вас никто не контролирует, хотите выходите, хотите сидите в аэропорту, только если выходить рассчитывайте время чтобы с запасом приехать за 2 часа, а то может быть коллапс на секьюрити чек, если много рейсов.

Можете. Только въездной штамп у вас будет венгерский. А запрашиваете- бельгийскую. Формально получится нецелевое использование визы. Есть не очень большая вероятность, но возможны сложности в дальнейшем с получением бельгийской визы. На всякий случай сохраняйте документы, подтверждающие ваше пребывание в Бельгии (а/билет, чеки из отеля, где указана ваша фамилия)...)

Если Вы делаете Шенген для въезда в Бельгию, а сами выйдете погулять в Будапеште при долгой стыковке, то первой страной въезда в Шенгенскую зону для Вас станет Венгрия.
При следующем получении Шенгена (через год-два-три) у Вас обязательно спросят, почему предыдущая Шенгенская виза была выдана Бельгийским посольством/ Визовым центром, а штамп стоит венгерский?
Последствия могут быть печальными - моя близкая подруга из-за такого же "фортеля" получила от Испании "черную метку" сроком на 5 лет и каталась после этого в Египет-Турцию-Таиланд.
Я бы не стала выходить из транзитной зоны погулять по улицам Будапешта, если пункт назначения - Бельгия. Слишком велика цена "ошибки".