Помощь с покупкой авиабилета

Да. Нужно предоставить свидетельство о рождении (до 14 лет) или паспорт, при зарубежных – загранпаспорт. Эти же документы потребуются при регистрации на рейс.
Также необходимо предоставить паспорта родителей, чтобы подтвердить родство.

Для покупки билета никаких соглашений не нужно. Нужны лишь данные документа, удостоверяющего личность (до 14 лет - свидетельство о рождении, после 14 лет - паспорт).

А вот для посадки на рейс и перелёта нужно:
- до 12 лет - совершеннолетний сопровождающий или услуга сопровождения от авиакомпании.
- с 12 лет внутри страны - устное согласие родителей.
- в любом случае при вылете за границу без родителей - как минимум письменное согласие одного из родителей при отсутствии запрета на выезд от второго родителя. Некоторые страны требуют согласие обоих родителей.

Купить билет на самолет несовершеннолетнему можно. Никто не проверяет возраст покупателя, когда оформляешь на сайте авиакомпании. Достаточно уметь пользоваться интернетом и платить картой.

Для перелетов никаких письменных согласий родителей не нужно.
Если возраст самостоятельных полетов достигнут (у разных авиакомпаний он разный, от 12 до 18 лет) - можно лететь самостоятельно.
Если младше разрешенного возраста - от 4 лет надо заказать услугу сопровождения авиакомпании, если она есть. Услугу заказывают и оплачивают родители.

Если выезд за границу - там для прохождения пограничного контроля свои правила для несоврешеннолетних. К полетам они отношения не имеют.

Можно.
Не нужно.