14 числа мы выезжаем в Абхазию на машине. Моему ребенку недавно исполнилось 14. Пустят ли ее через таможню без паспорта

Не пустят. Нужен паспорт.

Гражданина РФ после исполнения 14 летнего возраста просто не выпустят из страны без паспорта. Зачем искать приключений?
Либо езжайте после получения внутреннего паспорта, либо пусть едете по своему заграну, либо по вашему (если у вас загран старого образца с внесенными о ребенке сведениями)...

Граждане РФ могут выезжать из России в Абхазию по внутреннему или по заграничному паспорту гражданина РФ.
Граждане стран СНГ, за исключением Украины и Таджикистана, могут выезжать из России в Абхазию по внутреннему или заграничному паспорту.
Граждане Украины и Таджикистана с апреля 2009 года могут выезжать из России в Абхазию только по заграничному паспорту.
Военнослужащие Вооруженных Сил Российской Федерации, а также федеральных органов исполнительной власти, в которых предусмотрена военная служба, за исключением лиц, проходящих военную службу по призыву, выезжают из Российской Федерации при наличии разрешения командования, оформленного в порядке, установленном Правительством Российской Федерации (ст. 19 гл. III Федерального Закона N 114-ФЗ от 15.08.96г) . Документами для военнослужащих являются удостоверение личности (генерала, адмирала, офицера, прапорщика ВС РФ) ; военный билет военнослужащего при наличии командировочного или отпускного удостоверения (с указанием места прибытия - Абхазия) .
Документы, необходимые для детей
При выезде из России в Абхазию дети до 14 лет должны обязательно иметь свидетельство о рождении с вкладышем или штампом о российском гражданстве или загранпаспорт. (При этом на детей в возрасте от 6 лет в загранпаспортах должны быть фотокарточки, скреплённые гербовыми печатями органов МИД или МВД Российской Федерации) .
При выезде из России в Абхазию дети от 14 до 18 лет должны обязательно иметь общегражданский внутренний паспорт или загранпаспорт.

Таможня там существует. Ну хоть свидетельство о рождении нужно взять.