Прописывают в квартиру, как и выписывают.. . неделю?

Это кто это Вас неделю "выписывал"? Под суд их!
Зарегистрировать обязаны в трехдневный срок, хотя, по-хорошему, дел там на десять минут максимум - кто такие регламенты временные составлял? - голову бы оторвать!

"желательно чтобы в паспорте все-таки была прописка"
На хрена?..

А это кого как. Можно и в течение получаса зарегистрироваться

Можно заранее подать заявление через сайт госуслуг, т. е. в электронном виде. Тогда после предоставления подлинников документов в ФМС обязаны зарегистрировать по месту жительства через 3 дня. В общем, почитайте 288 Административный Регламент:
http://www.fms.gov.ru/law/867/

Вы относите паспорт со всеми разрешительными бумагами паспортисту ЖЭКа. Паспортист из жека ходит в паспортный 1-2 раза в неделю вот вам и сроки.

Не прописывают,. а.. регистрируют...))) Так это называется в нынешнее время..))). Не заморачивайся...))) Никому это сегодня не нужно, по сути, если не накапают заинтересованные лица... И вообще, по жизни выкинь из головы, кому то, что то доказывать... Пусть органы доказывают, как им и положено по закону... И чего они, просто не хотят и не умеют делать... но это на будущее, на всякий случай...)))

по Регламенту от 11.09.2012 г. №288 срок и:
- 3дня имеют право оформлять документы ЖРУ и прочие
---потом они несут док-ты в орган рег. учета УФМС, они тоже имею право оформлять в течении 3 дней
Если есть знакомые, можно за час оформить, как сказали выше
Все зависит сами знаете от чего