У кота распухла щека, как выпустить гной?

Ну если к ветеринару категорически не хотите - тогда побрейте коту щеку, обработайте антисептиком (можно йодом намазать) , прокипятите минут 20 инструменты - скальпель, ножницы, дренажную трубку или можно вместо нее просто резиновую полоску. Вскройте гнойник в самом мягком месте, расширьте отверстие, эвакуируйте гной. Затем промойте полость из шприца без иглы хлоргексидином или фурацилином. Вставьте в полость дренаж одним концом, второй должен оставаться снаружи, чтобы гной вытекал, иначе он снова будет там накапливаться. Зафиксируйте дренаж пластырем, чтобы кот его не выдернул. Коту надо будет колоть или давать антибиотики, ежедневно вынимать дренаж, промывать полость фурацилином и вставлять новый прокипяченный дренаж. И так примерно неделю или дней 10, пока все не заживет.

Лучше обратись к ветеринару!!!! САМ Не справишься!!!! У моего кота тоже было такое!!!!

Нужно отнести кота в клинику, чтобы врачи сделали все правильно, не только вскрыли нарыв, но и поставили при необходимости дренаж, назначили соответствующие препараты.
А насчет "к ветеринару не пойду" - одно пожелание: когда вы заболеете, пусть ваши родные и близкие лечат вас исключительно по советам дилетантов из инета и никогда не зовут врача.

Самостоятельно НЕ СМОЖЕТЕ, Надо идти к ветхирургу на осмотр.

Подождать несколько дней, если не пройдет - к ветеринару. Самостоятельно что-то пытаться пускать ни в коем случае нельзя.

молча идешь к ветеринару сдаешь кота оставляешь денежку уходишь приходишь забираешь - решение всех проблем

У моего кота такое было. Он сам лапой разодрал и вскрыл опухоль с гноем.
Я просто промыл все перекисью водорода и намазал ранку зеленкой.

Чем у вас все закончилось?!