Как уговорить родителей на приобретение щенка?

Так и скажи мол родители, Вы что не хотите два раза в день гулять под дождём снегом, полгода мочу на полу подтирать, да не спать по ночам от скулежа?
Никак, родители прекрасно понимают, что щенок будет их проблемой

на выставку с ними сходите

Начать с того, чтобы объяснить их аргументы против собаки.
Тогда будет понятнее, что вам советовать (и есть ли у вас шансы).

просто обещай о нём заботиться

Смотря сколько тебе лет. На моей практике встречались случаи, когда родители, потокая детям, брали собаку, а потом отдавали. Докажи, что ты ответственная. Но елси тебе меньше 14ти лет (во столько я завела свою первую собак), это практически невозможно, за собакой нужно ухаживать, воспитывать ее, а для этого нужны необходимые знания, прошаренный интернет и прочитанные книжки по собаководству. Маленькая собака - это прежде всего собака, а не игрушка, как многим кажется. Подрости, запасись необходимой информацией, а потом проси.

Скажи я буду делать все дела по дому месяц и убирать за щенком сама

Он тебе не нужен. Это очень сложно, даже с маленькими породами. Сейчас тебе возможно и нечем заняться и ты будешь уделять должное внимание, а вот как начнутся экзамены, так не до него будет. Лучше всего брать собаку после первого-второго курса. К тому же надо понимать что ЩЕНОК вырастит. Подумай хорошо.

Сказать, что некоторые щенки могут лечить мелкой болезнью людей как и кошки. Правдо за щенками нужно глаз-до глаз они могут нагадить.