Как везти кота в поезде?

Зависит от перевозчика.
В поездах Сапсан появились места для пассажиров с животными.
Вот правила РЖД (извлечение для вашего случая):
"Перевозка в поездах дальнего следования мелких домашних (комнатных) животных, собак и птиц (не более одного места на один оформленный проездной документ (билет) и не более двух мелких домашних (комнатных) животных или двух птиц на это место) допускается сверх установленной нормы провоза ручной клади в отдельных купе жесткого вагона (кроме вагонов с 2-местными купе (СВ) и вагонов повышенной комфортности). За перевозку в поездах дальнего следования мелких домашних (комнатных) животных, собак и птиц взимается отдельная плата.
При перевозке мелких домашних (комнатных) животных, собак и птиц их владельцы или сопровождающие должны обеспечить соблюдение санитарно-гигиенического режима в вагоне.
... Не допускаются к перевозке животные и птицы, перевозка которых может угрожать жизни и здоровью пассажиров, работников перевозчика.
Перевозка в поездах дальнего следования и пригородного сообщения мелких домашних (комнатных) животных, собак и птиц осуществляется при наличии соответствующих ветеринарных документов. "
"Соответствующие документы" - это ветпаспорт и прививки.
Вопрос о том животное мелкое или нет - не регламентирован.
Купе должно быть именно "жёсткое".

Кроме этих общих правил есть регламентация подробнее:
"Мелкие домашние (комнатные) животные, собаки (кроме крупных собак и собак-проводников) и птицы перевозятся в ящиках, корзинах, клетках, контейнерах, которые должны помещаться на местах, предназначенных для размещения ручной клади, и которые должны быть устроены таким образом, чтобы была исключена возможность нанесения животными вреда пассажирам и перевозчику, и размещаться на местах, предназначенных для размещения ручной клади. Размер такого места ручной клади по сумме трех измерений не должен превышать 180 см. "
Правила перевозок пассажиров, багажа, грузобагажа железнодорожным транспортом, п. 119

Необходим ветпаспорт с отметками о прививках, сделанных не менее чем за 30 (а не 10) дней и не более чем за год до поездки, а также справка из государственной ветклиники, которая берется непосредственно перед поездкой. Животное должно быть в переноске, провоз оплачивается как багаж. В плацкарте с животным ехать нельзя, только купе. Трое суток - это жесть, конечно... не проще ли самолетом?

кот может начать орать, это главная проблема, а так - в переноске, если это плацкард, в купе можно и выпустить, на станциях выгуливать на поводке.
на животных нужен билет и справка их гос. ветклиники о каких-то прививках, причем не позже, чем за 10 дней до отъезда
может, лучше не брать котейку?

Смотря сколько вы будете ехать. Вообще в переноске и если долго, то на остановках ыходить и выгуливать его