Правда ли, что собаку нужно вязать хотя бы раз?

Неправда. Проблемы начнутся как раз после вязки: возможные осложнения при родах, пристройство щенков... В дикой природе далеко не каждая особь (как женская, так и мужская) дает потомство, и никто еще от этого не умирал...

и какие проблемы?
вот у мамы спросите, каково оно, рожать и сколько здоровья это принесло
не представляет племенной ценности, не вяжите, потом проблем хлебнете по горло

Неправда. Это отговорки плодильщиков. Стерилизуйте после течки и не вздумайте вязать. Дворняг и так хватает.

Неправда. Не нужно собаку вязать "хоть раз".
Роды собаке никакого здоровья не прибавляют. Беременность и роды - это всегда для организма большая нагрузка. К тому же во время беременности и родов бывают осложнения: замершая беременность, кровотечения, послеродовая эклампсия. Если у собаки есть какие-то заболевания, то они могут обостриться после родов.
Щенки беспородные тоже особо никому не нужны. Т. е. либо придётся с горем пополам пристраивать, либо щенки отправятся в ведро с водой. Даже если вы их пристроили, то не факт, что новые хозяева не взяли их поиграться (подросших щенков часто выкидывают, вывозят в деревню и т. д.).
Разовая беременность не поможет собаке снизить риск рака матки или рака яичников, снизить риск рака молочных желёз и прочих подобных заболеваний. Поведение в период течек у рожавшей собаки не изменится, может и ещё более активным стать.
Поэтому вязать собаку нет смысла, если это беспородная собака. Даже породистых собак с полным комплектом документов вяжут не всегда. Есть породистые собаки пэт-класса, которые изначально для разведения не подходят из-за каких-то пороков (неправильный окрас, неправильный прикус), а есть собаки, которые для разведения подходят, но нет смысла их вязать (нет в собаке чего-то такого, что непременно надо передать потомкам, щенков данной породы полно в продаже - предложение превышает спрос). Так что даже породистых собак могут изначально стерилизовать (после первой течки).
Наоборот, кастрация (овариогистерэктомия, удаление матки и яичников) убирает риск заболеваний матки и яичников и снижает риск рака молочных желёз.
Хотя, собаки в плане заболеваний репродуктивных органов менее проблемны, чем кошки. За счёт этого многие придерживаются мнения о том, что собаку надо оперировать по мед показаниям. Т. е. собака может вполне спокойно жить и с течками, но без вязок. Но если вы боитесь, что не уследите за собакой во время течки, то лучше кастрировать.
Можно кастрировать, можно не кастрировать. Но вот вязать собаку, не представляющую племенной ценности явно не надо (это на пользу не пойдёт не здоровью собаки, ни щенкам, ни вашим нервам и бюджету).

из недавних примеров - знакомый повязал суку лабрадора (сука породистая, вязали по всем правилам - с хорошим кобелем, с актом) перед стерилизацией, тоже по принципу "нужно перед стерилизацией хоть раз повязать". очень жалеет - едва спасли собаку, в живых остался один щенок. собаку пришлось кесарить, двое щенков не выжили - было всего 3. говорит, рыдал и себя клял, пока собаку спасали - уже пофиг было на щенков. он ее очень любит, балует, после кесарева на руках носил до машины и вывозил гулять в места, где собак поменьше - загород. ваше дело, конечно, вязать или нет, но ни одни роды ни одной собаке здоровья не добавили.

Лучше стерилизовать сразу

неправда! мы собаку не вязали прожила 16 лет ничем не болела умерла от рака

Всё совсем наоборот. Беременность, как и роды ослабляют организм собаки. Но и пустые течки тоже на пользу организму не идут. Поэтом советую стерилизовать её как можно скорее, а пока давать контрацептивы, типа ЭКС-5, чтобы случайных вязок не произошло.