Может ли мой питомец гулять около жилого дома?

Несомненно. Если государство у вас отняло другие маршруты, вы полностью имеете право ходить где вам вздумается. Вы платите налоги, которые идут на дворника.

Давайте начнем с того, что выгуливать собаку вы должны на поводке. Вы тоже лезете с собакой через забор?

выгул на придомовой территории запрещен, так что не нужно искать оправданий, травку зеленую поесть можно и в других местах

Если другого маршрута реально нет, и иначе Вы к своему дому не попадёте, то о каком нарушении закона может идти речь? Никакой закон не может Вам запретить проходить через места общего пользования, хоть с собакой, хоть без. Придомовая территория - это палисадник, а не двор, двор - территория общего пользования.

У меня, например, вообще весь город застроен так, что на каждом углу то детсад, то детская площадка, то школа, то спортивный уголок какой-нибудь, а от них вообще на 40 метров отходить надо - только некуда, реально некуда. И площадки для выгула тоже ни одной нет. А в поля идти - собака уже стареет, тяжело ей далеко ходить. Приходится во дворе гулять. Только какашки за собакой убираю с тех пор, как двор "окультурили" (в смысле, алкашей разогнали и новые площадки построили), и всё. Я не думаю, что бабульке травы для собаки жалко, обычно люди именно на какашки на лужайках злятся - в этом случае уборка за собакой реально решает проблему, и людям объяснять, что Вы убираете, и претензий гораздо меньше будет.

Тут только мирно договариваться. Бабульки разные бывают. Если по человечески объяснить про траву, может поймет.